31明题图P3所示矩形函数f()与{ cos n为整数}在区间(02x)上正交。 f(D)4 0 2 图P3 32证明两相互正交的信号f1(1)与f2(m)同时作用于单位电阻上产生的功率,等会每一信号 单独作用时产生的功率之和。以f1(m)与f2(1)分别为下列两组函数来验证此结论。 (1)f(1)=cos(1),f2()=sin(vt); (2)f(1)=cos(w)J2()=sin(wt+30)。 33试求题图P32所示信号的三角型傅里叶级数展开式,并画出频谱图。 f(n)▲ 图P3.2 34求下列周期信号的傅里叶级数表示式。 (1)如图P33所示。 sinm0≤t≤2 (2)f(1)的周期为4,且∫()= 2<t<4
3.1 证明题图 P3.1 所示矩形函数 f (t)与{cos nt | n为整数}在区间(0,2π ) 上正交。 f (t) 0 π 2π t 1 −1 图 P3.1 3.2 证明两相互正交的信号 ( ) 1f t 与 ( ) 2 f t 同时作用于单位电阻上产生的功率，等会每一信号 单独作用时产生的功率之和。以 ( ) 1f t 与 ( ) 2 f t 分别为下列两组函数来验证此结论。 （1） ( ) cos( ) f1 t = wt ， ( ) sin( ) f 2 t = wt ； （2） ( ) cos( ) f1 t = wt ( ) sin( 30 ) 2 ° f t = wt + 。 3.3 试求题图 P3.2 所示信号的三角型傅里叶级数展开式，并画出频谱图。 f (t) A 0 −T 2 T − T 2 T t 图 P3.2 3.4 求下列周期信号的傅里叶级数表示式。 （1）如图 P3.3 所示。 （2） f (t)的周期为 4，且 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 sin ( ) t f t π 2 4 0 2 ≤ ≤ ≤ ≤ t t
∫( 图P3.3 3.5(1)证明:以T为周期的信号∫(m),如果是偶信号,即∫()=f(-1),则其三角函数 形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量;如果∫(1)是奇信号,即∫(m)=-f(1),则其 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 (2)如果以T为周期的信号∫(1)同时满足∫(1)=∫(-),则称∫(1)为偶谐信号;如果 同时满足f()=-f(-),则称f()为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含 偶次谐波;奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波。 (3)如果∫()是周期为2的奇谐信号,且f(1)=1,0<1<1,请画出f()的波形,并求 出它的傅里叶系数 36已知周期信号∫(1)前四分之一周期的波形如图P34所示,试分别绘出在下列条件下信 号在一个周期内的波形 (1)是t的偶函数,其傅里叶级数只有偶次谐波。 (2)是t的偶函数,其傅里叶级数只有奇次谐波 (3)是t的偶函数,其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波 (4)是t的奇函数,其傅里叶级数只有偶次谐波。 (5)是t的奇函数,其傅里叶级数只有奇次谐波。 (6)是t的奇函数,其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波 A 72 0 T 图P34
"" "" f (t) e 1 −1 0 − 3 1 3 t 图 P3.3 3.5（1）证明：以T 为周期的信号 f (t) ，如果是偶信号，即 f (t) = f (−t) ，则其三角函数 形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果 f (t)是奇信号，即 f (t) = − f (t) ，则其 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 （2）如果以T 为周期的信号 f (t)同时满足 ) 2 ( ) ( T f t = f t − ，则称 f (t)为偶谐信号；如果 同时满足 ) 2 ( ) ( T f t = − f t − ，则称 f (t) 为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含 偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波。 （3）如果 f (t)是周期为 2 的奇谐信号，且 f (t) = t ，0 < t < 1，请画出 f (t)的波形，并求 出它的傅里叶系数。 3.6 已知周期信号 f (t)前四分之一周期的波形如图 P3.4 所示，试分别绘出在下列条件下信 号在一个周期内的波形。 （1）是t 的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （2）是t 的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （3）是t 的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 （4）是t 的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （5）是t 的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （6）是t 的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 0 A1 f (t) − A2 T1 T2 t 图 P3.4
3.7试画出图P3.5所示信号的奇分量和偶分量。 f(n)4 f2( T 0 f( f4(1)▲ T 图P3.5 3.8利用信号的奇偶性,判断图P36所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。 f() 2(1)4 T / 图P3.6 3.9f1(1)和f2(1)的波形如图P37所示,已知f()的傅里叶变换为F(),试根据已知的 F(o)求f2(1)的傅里叶变换F2(jo)
3.7 试画出图 P3.5 所示信号的奇分量和偶分量。 A 0 2 T − 2 T " " t ( ) 1f t (a) A 0 " " t ( ) 2f t (b) −T T A 0 2 T − 2 T " " t ( ) 3f t (c) −T T 2A 0 " " t ( ) 4f t (d) − A 3 T 3 −T 2T T − A 图 P3.5 3.8 利用信号的奇偶性，判断图 P3.6 所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。 0 T 2 T 2 T − −T 1 t ( ) 1f t 0 T 2 T 2 T − −T 1 t ( ) 2f t 0 T 2 T 2 T −T − 1 t ( ) 3f t 图 P3.6 3.9 ( ) 1f t 和 ( ) 2 f t 的波形如图 P3.7 所示，已知 ( ) 1f t 的傅里叶变换为 ( ) F1 jω ，试根据已知的 ( ) F1 jω 求 ( ) 2 f t 的傅里叶变换 ( ) F2 jω
f(o f2(1)4 f() f2() 01 图P3.7 3.10求如图P38所示信号的傅里叶变换 f2(1) y f3() f4(r) E E 2
0 1 3 4 1 2 t ( ) 1f t 0 1 3 4 1 2 t ( ) 2f t (a) 0 1 1 t ( ) 1f t 0 1 3 4 1 t ( ) 2f t (b) 图 P3.7 3.10 求如图 P3.8 所示信号的傅里叶变换。 E − E t ( ) 1f t 2 γ − 2 γ E t ( ) 2f t 0 γ t 2 γ 0 ( ) 3f t 2 E 2 E − γ t 2 γ 0 2 E 2 E − 2 γ − ( ) 4f t
图P3.8 311已知图P39所示信号f1()的频谱函数为F1(o)=R(o)+j(o),式中R(o)、X(O) 均为O的实函数,试求f2(1)的频谱函数F2(o)。(缺少图(b)) 3.12利用傅里叶变换的对称性,求下列信号的傅里叶变换。 (1)f(1)= 2B (2)f(0= Sin 2z( (t-1) (3)f(t)=[Sa(2m)]2(4)f(t) 313若已知∫(1)的傅里叶变换为F(),利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变 (1)(21) (2)(t-2)f(1); (3)(t-2)f(-2) (4)t df(o) dt (5)f(1-1) (6)(1-1)f(1-1); 314利用时域和频域的对称性,求下列傅里叶变换的时间函数: (1)X(o)=o(a-00) (2)X(jo)=l(+00)-l(-00) (3)X(o)=2()-1 315已知梯形信号∫(1)如图P3.10所 (1)利用三角形脉冲信号的傅里叶变换及时移性质,求∫(m)的傅里叶变换 (2)利用微分性质求f(t)的傅里叶变换 f() 2 图P3.10
图 P3.8 3.11 已知图 P3.9 所示信号 ( ) 1f t 的频谱函数为 ( ) ( ) ( ) F1 jω = R ω + jX ω ，式中 R(ω)、X (ω) 均为ω 的实函数，试求 ( ) 2 f t 的频谱函数 ( ) F2 jω 。（缺少图（b）） 3.12 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换。 （1） 2 2 2 ( ) β β + = t f t （2） ( 1) sin 2 ( 1) ( ) − − = t t f t π π （3） 2 f (t) = [Sa(2πt)] （4） t f t π 1 ( ) = 3.13 若已知 f (t)的傅里叶变换为 F(ω)，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变 换： （1）tf (2t)； （2）(t − 2) f (t) ； （3）(t − 2) f (−2t) （4） dt df t t ( ) ； （5） f (1− t)； （6）(1− t) f (1− t) ； （7） f (2t − 5) 3.14 利用时域和频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数： （1） ( ) ( ) ω = δ ω −ω0 X j ； （2） ( ) ( ) ( ) ω = u ω +ω0 − u ω −ω0 X j ； （3） X ( jω) = 2u(ω) −1 3.15 已知梯形信号 f (t)如图 P3.10 所示， （1）利用三角形脉冲信号的傅里叶变换及时移性质，求 f (t)的傅里叶变换； （2）利用微分性质求 f (t)的傅里叶变换。 1 2 3 1 f (t) 0 t 图 P3.10