《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 多元函数微分学及其应用 7.2偏导数

第二节偏导数

第二节 偏导数

一、一阶偏导数定义1如果Ay(x, + Ax)- f(x) = limf(x)-f(x)limlimArAr-→0 AxAr-→0x-→xox-xo存在，则称y= f(x)在x,点可导,记作f(x)江如果定义2AZf(x, + △x, yo)- f(xo,yo):limlimAxAr-→0 △xAr-→0f(x,y)- f(xo,yo)= limx→xox-xo存在，！则称该极限为z=f(x,)在(xo,)点关于x的偏导数，记作f'(xo,y）

一 、 一阶偏导数 0 0 ( ) , ( 1 y f x x f x =  ). 定义 如果 存在，则称 在 点可导 记作 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x  →  → → x x x x  +  − − = =   − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim ( , ) ( , ) lim , ( , ) ( , ) , ( 2 , ). x x x x x z f x x y f x y x x f x y f x y x x z f x y x y x f x y  →  → →  +  − =   − = − =  如果 存在 则称该极限为 在 点关 于 的偏导数 记 定义 作

z=f(x,y)在(xo,o)点关于x的偏导数记为f'(xo,y,), f (xo,yo)α-0afX=Xaxx=XoX=XoV=yOV=yoy=yoz=f(x,)在(xo,y)点关于y的偏导数记为f,(xo,yo), f,(xo,yo)α-afx=Xo17ay=XoX=XOy=yoy=yoV=VO

0 0 z f x y x y y = ( , ) ( , ) 在 点关于 的偏导数记为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , , , , , ) . y y y x x x x x x y y y y y y f x y f x y z f z y y = = = = = =      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , , , , , ) . x x x x x x x x x y y y y y y f x y f x y z f z x x = = = = = =      0 0 z f x y x y x = ( , ) ( , ) 在 点关于 的偏导数记为

y例1求二元函数z=arctan的偏导数-α()-解1α-@1

1 arctan . y z x 例 求二元函数 = 的偏导数 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 1 . 1 z y y x x x y y x z x y x x y y x    =  − = −    +     +      =  =  +   +     解

例2求二元函数z=sin2xy+cos(x+y)的偏导数福az解= 2sin xycos xy · y - sin(x + y)ax= ysin2xy - sin(x + y),Oz. = 2sin xycos xy x - sin(x + y)ay= x sin2xy - sin(x + y)

2 例2 求二元函数 z xy x y = + + sin cos( ) . 的偏导数 2sin cos sin( ) sin2 sin( ), 2sin cos sin( ) sin2 sin( ). z xy xy y x y x y xy x y z xy xy x x y y x xy x y  =  − +  = − +  =  − +  = − + 解