《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第二章 2-4矩阵的秩

第二章矩阵与向量2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行列秩的影响。定理1初等行变换不改变矩阵的行秩证明：设m×n矩阵A的行向量组αi,αz,…，αm，且ααα,+ka;α;r;+krj=BA=αQ1

第二章 矩阵与向量 定理1 初等行变换不改变矩阵的行秩. 证明： 2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行(列)秩的影响。 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B                                                               

第二章矩阵与向量由α, = αiα, =(α; +kα,)-kαdm=αm可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性表示所以，矩阵A、B的行向量组等价从而矩阵A、B的行向量组的秩相同

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k              由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性表示. 所以，矩阵A、B的行向量组等价. 从而矩阵A、B的行向量组的秩相同

第二章矩阵与向量定理2初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系例3 设矩阵A=其列向量6α1,α2,α3,α,间有线性关系: α =α, + 2αz -α3矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到证明B的列向量β,β,,β3,β间也有线性关系β = β, +2β, -β

第二章 矩阵与向量 定理2 初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系. 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                                   例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 证明 的列向量 间也有线性关系