(a5-a4)B4 (a4-a3)B3 (a3-a2)B aba (a2-a1)B1 b B B2 B3 B B 上图是当an>0,bn>0,且{an}单调增加时,Abel变换的一个直 观的示意。图中矩形o,BJ]×a3]被分割成9个小矩形,根据所标出的 各小矩形的面积,即得到p=5的Abel变换 ab=aB-∑(ak1-ak)B
上图是当 an 0， 0 n b ，且an 单调增加时，Abel 变换的一个直 观的示意。图中矩形 5 0, B 5 0,a 被分割成 9 个小矩形，根据所标出的 各小矩形的面积，即得到 p = 5 的 Abel 变换： 5 4 5 5 1 1 1 ( ) k k k k k k k a b a B a a B + = = = − − 。 a5 5 4 4 (a − a )B a4 4 3 3 (a − a )B a5 b5 a3 3 2 2 (a − a )B a4 b4 a2 2 1 1 (a − a )B a3 b3 a1 a2 b2 a1 b1 0 B1 B2 B3 B4 B5
利用Abel变换即得到如下的Abel引理。 引理942(Abel引理)设 (1){ak}为单调数列; (2){Bk}(Bk=∑b,k=1,2,…)为有界数列,即存在M>0,对 切k,成立|Bk|≤M,则 ∑ab|≤M(|a1|+2|a1) k=1
利用 Abel 变换即得到如下的 Abel 引理。 引理 9.4.2 (Abel 引理) 设 (1)｛ak ｝为单调数列； (2)｛Bk ｝（Bk == k i bi 1 ，k = 1,2,…)为有界数列，即存在 M 0，对 一切 k，成立｜Bk ｜M，则 = p k k k a b 1 M (｜a1｜+2｜ap｜)
证由Abel变换得 B.+ 由于{a}单调,所以 ∑|a1-a|=∑(a1-a)=|an-a1|, 于是得到 abls M (a1|+2|a,)
证 由 Abel 变换得 = p k k k a b 1 ｜ap Bp｜+ − = + − 1 1 1 | | p k ak ak Bk + − − = + 1 1 1 | | | | p k M ap ak ak 。 由于｛ k a ｝单调，所以 − = + − 1 1 1 | | p k ak ak = − = + − 1 1 1 ( ) p k ak ak =｜ap − a1｜， 于是得到 = p k k k a b 1 M (｜a1｜+2｜ p a ｜)
定理9.4.3(级数的A-D判别法)若下列两个条件之一满足, 则级数∑anbn收敛: (1)(Abel判别法){an}单调有界,∑b收敛; (2)( Dirichlet判别法){an}单调趋于0,∑b}有界
定理 9.4.3（级数的 A-D 判别法） 若下列两个条件之一满足， 则级数 n=1 an bn 收敛： (1) (Abel 判别法) ｛ n a ｝单调有界， n=1 n b 收敛； (2) (Dirichlet 判别法) ｛ n a ｝单调趋于 0， = n i i b 1 有界
定理9.4.3(级数的A-D判别法)若下列两个条件之一满足, 则级数∑anbn收敛: (1)(Abel判别法){an}单调有界,∑b收敛; (2)( Dirichlet判别法){an}单调趋于0,∑b}有界。 证(1)若Abel判别法条件满足,设|an|≤M,由于∑b,收敛, 则对于任意给定的ε>0,存在正整数N,使得对于一切n>N和 P p∈N+,成立∑b<6。对∑ab应用Abe引理,即得到 k=n+1 ∑ab|<a(|an11+2|an|)≤3ME k=n+1
证 (1) 若 Abel 判别法条件满足，设｜an｜ M，由于 n=1 bn 收敛， 则对于任意给定的 0，存在正整数 N，使得对于一切 n N 和 p + N ，成立 + = + n p k n bk 1 。对 + = + n p k n ak bk 1 应用 Abel 引理，即得到 + = + n p k n k k a b 1 (｜an+1｜+2｜ n p a + ｜) 3M 。 定理 9.4.3（级数的 A-D 判别法） 若下列两个条件之一满足， 则级数 n=1 an bn 收敛： (1) (Abel 判别法) ｛ n a ｝单调有界， n=1 n b 收敛； (2) (Dirichlet 判别法) ｛ n a ｝单调趋于 0， = n i i b 1 有界