数学建模实例:人口预报问题 1问题 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一认识人口数量的变化规律, 作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提下面介绍两个最基本的人口模 型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后 用它预报2000年、2010年美国人口 表1美国人口统计数据 年(公元)1790180018101820183018401850 人口(百万)3.9 5.3 7.2 6 12.9 17.1 23.2 年(公元)186018701880189019001910 人口(百万)31438650262.976.092.0106 年(公元)1930194019501960197019801990 人口(百万)12321371501793204022.52514 2指数增长模型(马尔萨斯人口模型) 此模型由英国人口学家马尔萨斯( Malthus1766-1834)于1798年提出 假设:人口增长率厂是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正 比). 121建立模型:记时刻=0时人口数为x时刻t的人口为),由于量大, 可视为连续、可微函数t到t+M时间内人口的增量为: x(+△)-x() 于是x()满足微分方程:
数学建模实例：人口预报问题 1.问题 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模 型，并利用表 1 给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后 用它预报 2000 年、2010 年美国人口. 表 1 美国人口统计数据 年（公元） 人口（百万） 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 1820 9.6 1830 12.9 1840 17.1 1850 23.2 年（公元） 人口（百万） 1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 1890 62.9 1900 76.0 1910 92.0 1920 106.5 年（公元） 人口（百万） 1930 123.2 1940 131.7 1950 150.7 1960 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4 2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于 1798 年提出. [1] 假设：人口增长率 r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正 比）. [2] 建立模型： 记时刻 t=0 时人口数为 x0, 时刻 t 的人口为 x(t) ，由于量大， x(t) 可视为连续、可微函数.t 到 t + t 时间内人口的增量为： ( ) ( ) rx(t) t x t t x t = + − 于是 x(t) 满足微分方程：
(1) (o) 3模型求解:解微分方程(1)得 表明 t→>∞时, x() →00(r>0) 4模型的参数估计: 要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以 用表1-1的数据通过拟合得到拟合的具体方法见本书第16章或第18章 通过表中1790-1980的数据拟合得:r=0.307 5模型检验: 将x=3.9,r=0.307代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810-1920 的人口数,见表2. 表2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较 年 实际人口 指数增长模型 (公元) 百万) 预测人口(百万)误差(%) 1790 1800 5.3 1810 7.2 73 14 1820 9.6 1830 2.9 18 1850 23.2 25.6 1860 314 35.0 10.8 38.6 47.8 23.8 1880 65.5 30.5 62.9 896 1900 76.0 122.5 612 1910 92.0 167.6 82.1 1920 106.5 229.3 115.3
( ) 0 d d 0 x rx t x x = = （1） [3] 模型求解： 解微分方程（1）得 ( ) 0 e rt x t x = （2） 表明： t → 时， x(t)→ （ r >0）. [4] 模型的参数估计： 要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数 r 进行估计，这可以 用表 1-1 的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第 16 章或第 18 章. 通过表中 1790—1980 的数据拟合得： r =0.307. [5] 模型检验： 将 x0=3.9，r =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的 1810—1920 的人口数，见表 2. 表 2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较 年 (公元) 实际人口 （百万） 指数增长模型 预测人口（百万） 误差（%） 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 7.3 1.4 1820 9.6 10.0 4.2 1830 12.9 13.7 6.2 1840 17.1 18.7 9.4 1850 23.2 25.6 10.3 1860 31.4 35.0 10.8 1870 38.6 47.8 23.8 1880 50.2 65.5 30.5 1890 62.9 89.6 42.4 1900 76.0 122.5 61.2 1910 92.0 167.6 82.1 1920 106.5 229.3 115.3
从表2可看出,18101870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880 年以后的误差越来越大 分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长而事实上,随着人 口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著如果 当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数 量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少于是应该对指数增长模型关于人 口净增长率是常数的假设进行修改下面的模型是在修改的模型中著名的一个 3.阻滞增长模型( logistic模型) 假设: (a)人口增长率r为人口地的函数r)(减函数),最简单假定 rx)=r-sr,r;s>0(线性函数,r叫做固有增长率 (b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量x 2建立模型: 当x=x时,增长率应为0,即r(xm)=0,于是 代入 F-SX 得: rLxerll- (3) 将(3)式代入(1)得 dx=rl 模型:dr (4) x(0 3]模型的求解:解方程组(4)得 (5) 根据方程(4)作出,-x曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人 口数的变化规律根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随
从表 2 可看出，1810—1870 间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但 1880 年以后的误差越来越大. 分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人 口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果 当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数 量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人 口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个. 3. 阻滞增长模型（logistic 模型） [1]假设： （ a ） 人 口 增 长 率 r 为人口 x(t) 的函数 r(x) （ 减 函 数 ）， 最 简 单 假 定 r(x) = r − sx, r,s 0 （线性函数）， r 叫做固有增长率. （b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 m x . [2]建立模型： 当 m x x = 时，增长率应为 0，即 r x( m ) =0，于是 m r s x = ，代入 r(x) = r − sx 得： ( ) m 1 x r x r x = − （3） 将（3）式代入（1）得： 模型： ( ) m 0 1 0 dx x r x dt x x x = − = （4） [3] 模型的求解： 解方程组（4）得 ( ) m m 0 1 1 rt x x t x e x − = + − （5） 根据方程（4）作出 d d x x t − 曲线图，见图 1，由该图可看出人口增长率随人 口数的变化规律.根据结果（5）作出 x-t 曲线，见图 2，由该图可看出人口数随
时间的变化规律 错误! /2 d x 图2x-1曲线图 a曲线图 4模型的参数估计 利用表1中1790-1980的数据对r和xn拟合得:r=0.2072,xm=464. 5模型检验: 将r=0.2072,xn=464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800 1990的人口数,见表3第3、4列 也可将方程(4)高散化,得 x(t+1)=x(1)+Ax=x(1)+r(1-)x(t)0,1,2,,(6) 用公式(6)预测1800-1990的人口数,结果见表3第5、6列 表3美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较 实际 阻滞增长模型 年 人口 公式(5) 公式(6) (百万)预测人口(百万)误差(%)预测人口百万)误差(% 1800 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642 1810 72 72614 0.0085 6.5074 0.0962 1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957 1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1l51 1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
时间的变化规律. [4] 模型的参数估计： 利用表 1 中 1790—1980 的数据对 r 和 m x 拟合得： r =0.2072, m x =464. [5] 模型检验： 将 r =0.2072, m x =464 代入公式（5），求出用指数增长模型预测的 1800— 1990 的人口数，见表 3 第 3、4 列. 也可将方程（4）离散化，得 ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) (1 x t x x t x t x t x x t r m + = + = + − t=0,1,2,…, (6) 用公式（6）预测 1800—1990 的人口数，结果见表 3 第 5、6 列. 表 3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较 年 实际 人口 (百万) 阻滞增长模型 公式（5） 公式（6） 预测人口(百万) 误差（%） 预测人口(百万) 误差（%） 1790 3.9 1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642 1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962 1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957 1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151 1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156 O xm 2 xm x 错 误 ! 未 定 义 书 签。 图 1 dx x dt − 曲线图 x xm x0 2 0 x O t 图 2 x-t 曲线图
1850 23.2 16.6328 0.2831 198197 0.1457 1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553 1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815 1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328 1890 62.9 38.0986 03943 56.1884 0.1067 1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770 1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790 1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379 1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345 1940 l317 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469 1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126 1960 1793 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503 1970 204.0 1998919 0.0201 201.1772 0.0138 1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047 1990 2514 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038 16模型应用: 现应用该模型预测人口用表1中17901990年的全部数据重新估计参 数,可得r=0.2083,xn=457.6.用公式(6)作预测得: x(2000)275;x(2010)=297.9 也可用公式(5)进行预测
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457 1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553 1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815 1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328 1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067 1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770 1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790 1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379 1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345 1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469 1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126 1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503 1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138 1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047 1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038 [6] 模型应用： 现应用该模型预测人口.用表 1 中 1790—1990 年的全部数据重新估计参 数，可得 r =0.2083, m x =457.6. 用公式（6）作预测得： x(2000)=275; x(2010)=297.9. 也可用公式（5）进行预测