先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使A'B′=AB ∠A'=∠A,∠B=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好 △ABC'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? D 画一个△A'B'C,使A'B'=AB,∠A B′=∠B 2.在A'B′的同旁画∠DA'B=∠ ∠EBA'=∠B,A'D,BE交于点C 图11.2-8 图11.2-8给出了画△A'B'C的方法.你是这样画的吗?探究5的结果反 映了什么规律? 由探究5也可以得到判定两个三角形全等的一个方法 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或 ASA”) 究 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(图11.2 9),△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角证明你的结论吗? 图11.2-9 根据已知条件,如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明△ABC 第十一章全等三角形11
与△DEF全等.由“三角形三个内角的和等于180°”可以证明∠C=∠F 证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠A-∠B 同理∠F=180°-∠D-∠E. 又∠A=∠D,∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F, ∴△ABC≌△DEF(ASA) 因此,我们可以得到下面的结论 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角 角边”或“AAS 例3如图11.2-10,D在AB上,E在AC上,A AC,∠B=∠C.求证AD=AE. 分析:如果能证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD= AE. 证明:在△ACD与△ABE中 ∠A=∠A(公共角), AC=AB 图11.2-10 ∴△ACD≌△ABE(ASA). AD=AE 螺究 三角对应相等的两个三角形全等吗?解答上述问题后把三角形全等 的判定方法做一个小结 12第十一章全等三角形
练习 1.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点 C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这 时测得DE的长就是AB的长,为什么? (第1题) 2.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求证AB=AD 对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这 两个直角三角形就全等了? 由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相 等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.如果满足斜边和一条 直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗? 究 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一 个Rt△A'BC,使∠C=90°,B'C'=BC,A'B 直角 AB.把画好的R△AB'C剪下,放到Rt△ABC上,三角形用 它们全等吗? Rt△表示 第十一章全等三角形|13
N画一个Rt△A'B'C,使BC=BC,A'B 画∠MCN=90° 在射线CM上取 3.以B为圆心,AB为半径画弧,交射线 图11.2-11 CN于点A 4.连接A'B 图11.2-11给出了画Rt△A'BC'的方法.你是这样画的吗?探究8的结果 反映了什么规律? 由探究8可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边 直角边”或“HL”) 例4如图11.2-12,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证BC=AD 证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD, ∠C与∠D都是直角 在Rt△ABC和Rt△BAD中, AB=BA LAC=BD 图11.2 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) BC=AD 练 1.如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直 线行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB,EB⊥AB.D,E与路段AB的距 离相等吗?为什么? (第1题) 第2题) 2.如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,CE=BF.求证AE=DF 14|第十一章全等三角形
习题11 复习巩固 1.如图,AB=AD,CB=CD.△ABC与△ADC全等吗?为什么? 2.如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证△ACD≌△CBE C,AD=AE,求证∠B=∠C. 4.如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡 钳).在图中,要测量工件内槽宽,只要测量什么?为什么? 5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证AC=AD 第5题 (第6题) 6.如图,从C地看A,B两地的视角∠C是锐角,从C地到A,B两地的距离相等 A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗?为什么? 第十一章全等三角形