7.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高.求证:(1)BD=CD;(2)∠BAD= (第8题) 8.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC.求证∠ABD=∠ACD 9.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A=∠D 第9题 (第10题 10.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB. 11.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证 AB= DE. AC=DF 第11题) (第12题 16第十一章全等三角形
12.如上页图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE= FE,FC∥AB.AE与CE有什么关系?证明你的结论 13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E 在AD上.找出图中的全等三角形,并说明它们为什么全 第13题) 第十一章全等三角形17
阅读与思考全等与全等三角形 阅读与思考 选学 全等与全等三角形 小明:全等是“一模一样”“完全相等”的意思吗 老师:不考虑图形的位置时,可以这么理解.在几何学中,我们从形状、 大小的角度描述全等的图形,即把形状和大小完全相同的图形叫做全等形 全等形还有其他的定义方式,如教科书是利用“能够完全重合”定义全等形 小明:全等是几何学中的重要概念吗? 老师:是的,几何学是研究图形的形状、大小和位置关系的学科,全等 涉及其中的两个方面,在今后的学习中,你会发现几何中许多问题都源自全 等问题,许多重要概念都是在全等概念的基础上产生的 小明:为什么我们重点学习全等三角形呢? 老师:我们已经知道三角形是最简单的多边形,而且任意多边形都可以 分解为若干个三角形,所以我们以全等三角形作为载体学习全等的知识,由 此还可以方便地推广到其他多边形的全等问题.小明,你能说说我们是从哪 两个方面研究全等三角形的吗? 明:全等三角形的性质和三角形全等的判定 师:对,这也是研究一般的全等形的两个方面.利用全等 角形的性质,可以证明线段相等或角相等;利用三角形全等的 判定方法,可以证明两个三角形是全等三角形.在实际应用中, 我们常把它们结合起来使用,如先证明两个三角形全等,再进一 步得出它们的对应边或对应角相等 18第十一章全等三角形
阅读与思考 全等与全等三角形
113角的平分线的性质 113角的平分线的性质 椰究 图11.3-1是一个平分角的仪器,其中AB AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就 是∠DAB的平分线,你能说明它的道理吗? 图11.3-1 由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线 车法:(1)以O为圆心,适当长为半径画弧 交OA于M,交OB于N (2)分别以M,N为圆心,大于MN的长为 半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C (3)画射线OC.射线OC即为所求(图1.3-2) 图11.3-2 练习 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线 CD.直线CD与直线AB是什么关系? 第十一章全等三角形19
11.3 角的平分线的性质
究 如图11.3-3,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什 么结论? 图11.3-3 可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折 痕是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等 由此我们得到角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 下面,我们利用三角形全等证明这个性质.首先,要分清其中的“已知” 和“求证”.显然,已知为“一个点在一个角的平分线上”,要证的结论为“这 个点到这个角两边的距离相等”.为了更直观、清楚地表达题意,我们通常在 证明之前画出图形,并用符号表示已知和求证 如图11.3-4,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证PD=PE 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中, 图11.3-4 ∠PDO=∠PEO, AOC=∠BOC OP=OP △PDO≌△PEO(AAS) PD=PE 20第十一章全等三角形