初中数学50个经典几何难题, 第一题: 已知:△ABC外接于⊙O,∠BAC=60°,AE⊥BC,CF⊥AB,AE、CF相交 于点H,点D为弧BC的中点,连接HD、AD。求证:△AHD为等腰三角形 简证:易证∠BHC=120°,∠BOC=120°,∴B、H O、C四点共圆。 DB=DO=DC,∴DH=DO=OA,又AH∥OD,∴ AHDO是菱形 ∴II=HD,△∥HD为等腰三角形 C 第二题: 如图,F为正方形ABCD边(D上一点,连接AC AF,延长AF交AC的平行线DE于点E,连接 CE,且AC=AE。求证:CE=CF E 简证:作点E关于AD对称点G,则DE⊥DG △CDG≌△ADE,△ACG是等边三角形。 ∠GAC=60°,∠DIF=15°,∠CEF=30° ∠DEF=30°,∠CFE=30 ∴△CEF是等腰三角形。CE=CF。 第1页共35页
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第三题: 已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,∠BDC=30°。 E 求证:AD=BC 简证:以AD为边作正三角形ADE(如图) 易知△ABC≌△CAE ∴AD=AE=BC。 第四题: 已知:△ABC中,D为AC边的中点,∠A=3∠C,∠ADB=45°。求证:AB⊥BC 简证:过D作DE⊥C交BC于E 由已知得AE=EC,∠EAD=∠C 又∠A=9∠C,∴∠BAE=∠BEA B=BE,由∠ADB=45°得∠EDB=45° E ∴A、D、E、B四点共圆,∠ABE=∠ADE= 即AB⊥BC C D 第2页共35页
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第五题: 如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E,∠BAC=50°,∠ABD=60°, ∠CBD=20°,∠CAD=30°,∠ADB=40°。求∠ACD。 解:设AD、BC交于点F,过D作DG∥AB 交BF于点G,G交BD于H则 △ABF是等腰三角形,A、B、G、D四点共 圆 ∠DAG=∠DBG=20°,∴∠BIG=60° ∠BDG=∠BAG=60°,∠IGD=∠ABD =60°∴△GHD是等边三角形。△ABH是B 等边三角形 BH=AB=BC,∴∠BHC=80°,∴∠CIG =40 ∴∠HGC=40°,∴HC=GC,∴△HCD≌2 △GCD ∴∠HDC=90,∵∠ACD=80° 第六题: 已知,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC。求证:AB2+BC2=BD 简证:以AB为边向外作正三角形ABE 则BC⊥BE,BE2+BC2=CE2 易证△DB≌△CAE,BD=CE 于是AB2+BC=BD2。 B 第3页共35页
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第七题: 如图,PC切⊙O于C,AC为圆的直径,PEF为⊙O的割线,AE、AF与直线PO相 交于B、D。求证:四边形ABCD为平行四边形 证明:过C作CG⊥PO于G 则由∠AEC=∠PGC=90°得 E、B、G、C四点共圆 同理F、D、G、C四点共圆 PC是⊙O切线,PC=PEPF 在RT△PCO中,PC2=PG·PO ∴PE·PF=PGPO, ∴E、G、O、F四点共圆。∴∠OGF ∠OEF,∠BGE=∠OEF,∴∠ OGF=∠BGE 又CG⊥PO得∠EGC=∠FGC,∠EGF=∠EOF=2∠EIF,∴∠EGC=∠FGC=∠EAF 又∠EGC=∠EBC,∠FGC=∠FDC,∴∠EBC=∠FDC=∠EAF ∴AF∥BC,AE∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形。 第八题 已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,∠OBC=10°,∠OCA=20°。 求证:AB=OB 简证:延长CO交AB于D,以OC为边作正三角 形OCE(如图) 易知AC=DC,BD=OD,OC=AD △ACE≌△CID,△ACO≌△AEO, ∠CO ∠CEE=10° ∴∠BAO=70°,∠ABO=40 ∴∠BO|=70°,∴AB=OB C E
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第九题: 已知:正方形ABCD中,∠OAD=∠ODA=15°,求证:△OBC为正三角形。 简证:以BC为边作正三角形BCO(如图) 则AB=OB,∠ABO'=90°, ∴∠BO=75°,∠DIO′=15 同理∠ADO′=15° 于是△ADO′≌△IDO ∴O与O′重合 ∴△OBC是正三角形。 B C 第十题: 已知:正方形ABCD中,E、F为AD、DC的中点,连接BE、AF,相交于点P,连 接PC。求证:PC=BC 简证:易知△ABE≌△DF BE⊥AF,∴B、C、F、P四点共圆 ∠BPC=∠BFC E ∠PBC=∠BEA 而∠BEI=∠BFC ∴∠BPC=∠PBC ∴PC=BC F B 第5页共35页
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