112三角形全等的判定 112三角形全等的判定 我们知道,如果△ABC≌△A'BC,那么它们的对应边相等,对应角相等 反过来,如果△ABC与△ABC满足三条边对应相等,三个角对应相等,即 AB=AB′,BC=BC',CA=CA′, A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C 这六个条件,就能保证△ABC≌△ABC (图1.2-1).如果△ABC与△AB'C满 足上述六个条件中的一部分,那么能否保 证△ABC与△ABC全等呢? 本节我们就来讨论这个问题 图11.2 探 先任意画出一个△ABC.再画一个△AB'C,使△ABC与 △AB'C满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C与 △ABC一定全等吗? 通过画图可以发现,满足上述六个条件中的一个或两个,△ABC与 △AB℃C不一定全等.满足上述六个条件中的三个,能保证△ABC与 △AB℃全等吗?我们分情况进行讨论 究 先任意画出一个△ABC.再画一个△ABC,使AB=AB,BC BC,CA′=CA.把画好的△ABC剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 第十一章全等三角形
11.2 三角形全等的判定
画一个△A'B'C,使AB′=AB,A'C 1.画线段BC'=BC 分别以B',C为圆心,线段AB,AC为半 径画弧,两弧交于点A 图11.2-2 3.连接线段A'B',AC 图11.2-2给出了画△A'BC的方法,你是这样画的吗?探究2的结果反 映了什么规律? 由探究2可以得到判定两个三角形全等的一个方法: 三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”) 我们曾经做过这样的实验:将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形 木架的形状、大小就不变了.就是说,三角形的三边确定了,这个三角形的形 状、大小也就确定了.这里就用到上面的结论 用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过 程,叫做证明三角形全等 例1如图11.2-3,△ABC是一个钢架, AC,AD是连接点A与BC中点D的支架 求证 △ABD≌△ACD. 分析:要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角 图11.2-3 形的三条边是否对应相等 证明:∵D是BC的中点, 符号 表示“因为”, 在△ABD和△ACD中, “”表示“所以 BD=CD LAD=AD △ABD的边又 △ABD≌△ACD(SsS) 是△ACD的边 我们称它为这 由前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法 两个三角形的 已知:∠AOB 公共边 十一章全等三角
求作:∠AO'B’,使∠AOB'=∠AOB 作法:1.以点O为圆心,任意长为半径画 弧,分别交OA,OB于点C,D; 像这样只用无刻度的 2.画一条射线OA′,以点O为圆心,OC 直尺和圆规作图的方法称 为尺规作图,想一想,为 长为半径画弧,交OA于点C; 3.以点C为圆心,CD长为半径画弧,与什么这样作出的∠AOB 和∠AOB是相等的? 第2步中所画的弧交于点D; 4.过点D画射线OB,则∠AOB=∠AOB s练习 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下 如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上 刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线 OC便是∠AOB的平分线,为什么? 螺究3 先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'B'C,使A'B=AB AC=AC,∠A=∠A(即使两边和它们的夹角对应相等).把画好的 △A'BC'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 第十一章全等三角形
画一个△ABC,使AB=AB,AC'=AC 1.画∠DAE=∠A; 2.在射线A'D上截取A'B′=AB,在射线 AE上截取AC=AC; 3.连接BC 图11.2-5 图11.25给出了画△AB'C'的方法.你是这样画的吗?探究3的结果反 映了什么规律? 由探究3也可以得到判定两个三角形全等的一个方法 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或 SAS”) 例2如图1.2-6,有一池塘,要测 池塘两端A,B的距离,可先在平地上取 一个可以直接到达A和B的点C,连接AC 并延长到D,使CD=CA.连接BC并延长 到E,使CE=CB.连接DE,那么量出 DE的长就是A,B的距离.为什么? 分析:如果能证明△ABC≌△DEC 图11.2-6 就可以得出AB=DE. 在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB CE.如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC 的根据是什么?AB= 就全等了 DE的根据是什么? 证明:在△ABC和△DEC中 CA-CD ∠1=∠2, CB=CE △ABC≌△DEC(SAS) AB- DE 从例2可以看出:因为全等三角形的对应边相等,对应角相等,所以,证 十一章全等三角形9
明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个 角形全等来解决 螺究4 我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边 及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 我们可以通过画图回答,还可以通过实验回答 把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射 线BC的端点B重合.适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木 棍,把短木棍摆起来(图11.2-7). 图11.2-7中的△ABC与△ABD满足两边及其 中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全 等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的 ∠A 两个三角形不一定全等 图11.2-7 练习 如日 从南北方向的路段AB的一端A出发,分别向东,向西行进相同的 C,D两地此时C,D到B的距离相等吗?为什么? 《第1题 2.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证∠A=∠D. 10第十一章全等三角形