学剩网 抖原到鞴趴,让你的习土录起饔! JP. ZXXK. COM 学科网精品频道全力推荐 专题一:开放探索型问题 考点概览 1考点解析 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一,需要根据题目的 特点进行分析、探索,从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法. 2考点分类:考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点分析与常见题型 常考热点 等腰三角形构成 解答题求符合要求的点坐标 般考点 平行四边形的构成 解答题求符合要求的点坐标 冷门考点 圆的相切讨论 解答题求动点运动时间 知识点精析 【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,再 加上题意新颖,构思精巧,具有相当的深度和难度,所以要求同学们在复习时,首先对于基础知识一定要 复习全面,并力求扎实牢靠:其次是要加强对解答这类试题的练习,注意各知识点之间的因果联系,选择 合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无 固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑: 1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从 而得出规律 2.反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件 3.分类讨论法、当命题的题设和结论不唯一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既 不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果 4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加 以严密的论证 常考题 中考题型分析 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 1.考点解析 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的 特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法． 2.考点分类：考点分类见下表[来源:学_ 科_网] 考点分类 考点内容 考点分析与常见题型 常考热点 等腰三角形构成 解答题求符合要求的点坐标 一般考点 平行四边形的构成 解答题求符合要求的点坐标 冷门考点 圆的相切讨论 解答题求动点运动时间 【方法点拨】 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再 加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要 复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择 合适的解题途径完成最后的解答 ．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无 固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从 而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一 致． 3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既 不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果． [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加 以严密的论证 一、中考题型分析
∵学剩网 抖闷原纠鞴,让你子可土录! JP. ZXXK. COM 学科网精品频道全力推荐 本节考点在2019年中考数学试卷中出现概率还会很高,也会延续以前的考查方式和规律,不会有很大 变化。由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用,是近几年中考命题的一个热 点.通常这类题目有以下几种类型:条件开放与探索,结论开放和探索,条件与结论都开放与探索及方案 设计、命题组合型、问题开放型等。 典例精析 ★考点一:全等三角形,相似三角形问题 ◆典例一:问题背景: 如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分别是BC,CD上的点, 且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 E C B E 探索延伸: 如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF ∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由 结论应用 如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70° 的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前 进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别 到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离 能力提高 如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若 BM=1,CN=3,则MN的长为 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 本节考点在 2019 年中考数学试卷中出现概率还会很高，也会延续以前的考查方式和规律，不会有很大 变化。由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热 点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案 设计、命题组合型、问题开放型等。 二、典例精析 ★考点一：全等三角形，相似三角形问题 ◆典例一：问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF 分别是 BC，CD 上的点， 且∠EAF＝60°，探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连结 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证 明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF ＝ 2 1 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 结论应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70° 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前 进，舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别 到达 E，F 处，且两舰艇与指挥中心 O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． 能力提高： 如图 4，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN＝45°．若 BM＝1，CN＝3，则 MN 的长为 ．
∵学剩网 抖闷原纠鞴,让你子可土录! JP. ZXXK. COM 学科网精品频道全力推荐 【考点】全等三角形,构造全等 【解析】本题的核心是根据已知的相等线段的条件构造出一组全等三角形,然后再利用二次全等去证 明线段之间的关系。如何利用全等三角形的性质和角度之间的关系是解题的关键 解答:问题背景:EF=BE+FD.2分 探索延伸:EF=BE+FD仍然成立 4分 明:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∵:∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°, ∠B=∠ADG 又∵∴AB=AD,∴,△ABE≌△ADG ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG 又∵∠EAF=∠BAD ∴∠BAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF =∠BAD-∠BAD=±∠BAD .∠EAF=∠GAF ∴△AEF≌△AGF. EF-FG 又∵∴FG=DG+DF=BE+DF EF-BE+FD 7分 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【考点】全等三角形，构造全等 【解析】本题的核心是根据已知的相等线段的条件构造出一组全等三角形，然后再利用二次全等去证 明线段之间的关系。如何利用全等三角形的性质和角度之间的关系是解题的关键[来源:学科网ZXXK] 解答：问题背景：EF＝BE＋FD. ………………2 分 N M C B A
∵学剩网 抖原到鞴趴,让你的习土录起饔! JP. ZXXK. COM 学科网精品频道全力推荐 B E D 结论应用:如图,连接EF,延长AE,BF相交于点C,在四边形AOBC中, ∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°=∠AOB, 又∵:OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件 结论EF=AE+FB成立 9分 即,EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海每里) 答:此时两舰艇之间的距离为210海里 10分 能力提高:MN=√h0 12分 ◆典例二:如图2-1-1,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,分析下列 四个结论:①△AEF∽△CAB:②CF=24F;③DF=DC:④tan∠CAD=√2其中正确的结论有 A.4个 3个 B 图2-1-1 第1题答图 【考点】相似三角形,相似比,三角函数学科#￥网 【解析】如答图,过点D作DM∥BE交AC于点N,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°, AD=BC,∠EAC=∠ACB,∵BE⊥AC于点F,∴∠ABC=∠EE=90°,∴△AEF∽△CAB故①正确 ∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,·E_AE;AA、D=BC∴AF_1 22C2,∴CF=2AF故②正确 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 D C B A M N ◆典例二：如图 2－1－1，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为 F，连结 DF，分析下列 四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有 ( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 图 2－1－1 第 1 题答图 【考点】相似三角形，相似比，三角函数 学科#￥网 【解析】如答图，过点 D 作 DM∥BE 交 AC 于点 N，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝BC，∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC 于点 F，∴∠ABC＝∠EFA＝90°，∴△AEF∽△CAB.故①正确； ∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴ AE BC＝ AF CF，∵AE＝ 1 2 AD＝ 1 2 BC，∴ AF CF＝ 1 2 ，∴CF＝2AF.故②正确；
学剩网 抖闷原纠鞴,让你子可土录! JP. ZXXK. COM 学科网精品频道全力推荐 DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF, BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC故③正确 设EF=1,则BF=2,∵∠BAD=90°,BE⊥AC,∴∠BAF+∠EAE=90°,∠FAE+∠AEF=90°,∴∠ BAF=∠AEF,:△B=△EF,:AE=BE.:.AF= NEF- BF=、5.:m∠CAD=umn∠ABF=AE=y2 BF 2 故④错 误 故选B ★考点二:等腰三角形线段与角度的关系探究 ◆典例一:已知O为直线MN上一点,OP⊥MN,在等腰直角三角形ABO中,∠BAO=90,AC∥OP交 OM于C,D为OB的中点,DE⊥DC交MN于E M N 图2-1-8 (1)如图2-1一8①,若点B在OP上,则①AC≡OE(选填“<”或“=”);②线段CA,CO,CD满 足的等量关系式是CO+CA=CD (2)将图①中的等腰直角三角形ABO绕O点顺时针旋转a(0<a<45°),如图②,那么(1)中的结论②是否成 立?请说明理由; (3)将图①中的等腰直角三角形ABO绕O点顺时针旋转a(45°<ax<90°),请你在图③中画出图形,并直接 写出线段CA,CO,CD满足的等量关系式CO=CA=VCD 【考点】图形的旋转,全等三角形 【解析】(1连结AD,四边形ADOC为正方形,线段CA,CO,CD为等腰直角三角形三边; (2连结AD,证明△ACD≌△OED,观察图形,确定CA,CO,CD的关系; β3旌结AD,∵D为等腰直角三角形ABO斜边OB的中点,∴AD=OD,AD⊥DO,又∵AC⊥OC,AC ⊥OC,∴,D,C两点在以AD为直径的半圆上,∠CDA=∠EDO,∴∠DOC=∠DAC,△ACD≌△OED ∴AC=OE,在R△CDE中,co-OE=CO-AC=V2CD 【解答】解:(1)①=;②CO+CA=V2CD (2)如答图①,连结AD, D为等腰直角三角形ABO斜边OB的中点, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形 BMDE 是 平行四边形，∴BM＝DE＝ 1 2 BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF， ∵BE⊥AC 于点 F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC.故③正确； 设 EF＝1，则 BF＝2，∵∠BAD＝90°，BE⊥AC，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，∠FAE＋∠AEF＝90°，∴∠ BAF＝∠AEF，∴△ABF∽△EAF，∴ AF EF＝ BF AF，∴AF＝ EF·BF＝ 2，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝ AF BF＝ 2 2 . 故④错误．故选 B. ★考点二：等腰三角形线段与角度的关系探究 ◆典例一：已知 O 为直线 MN 上一点，OP⊥MN，在等腰直角三角形 ABO 中，∠BAO＝90°，AC∥OP 交 OM 于 C，D 为 OB 的中点，DE⊥DC 交 MN 于 E. 图 2－1－8 (1)如图 2－1－8①，若点 B 在 OP 上，则①AC__＝__OE(选填“>”“<”或“＝”)；②线段 CA，CO，CD 满 足的等量关系式是__CO＋CA＝ 2CD__； (2)将图①中的等腰直角三角形 ABO 绕 O 点顺时针旋转 α(0°<α<45°)，如图②，那么(1)中的结论②是否成 立？请说明理由； (3)将图①中的等腰直角三角形 ABO 绕 O 点顺时针旋转 α(45°<α<90°)，请你在图③中画出图形，并直接 写出线段 CA，CO，CD 满足的等量关系式__CO－CA＝ 2CD__． 【考点】图形的旋转，全等三角形 【解答】解：(1)①＝；②CO＋CA＝ 2CD； (2)如答图①，连结 AD， ∵D 为等腰直角三角形 ABO 斜边 OB 的中点