如果(x)≤0,则∫。f(x)dx≤0,此时」。fx)dx 表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲 边梯形的面积A的负值,即「f(x)dx=-A 冈凶
如果 f (x)≤0，则 ( )d 0 b a f x x ，此时 ( )d b a f x x 表示由曲线y f x = ( )，x a x b = = , 及 x 轴所围成的曲 边梯形的面积 A 的负值，即 ( )d b a f x x A = − . O x y a b -A y=f(x)
如果f(x)在[a,b]上有 正有负时,则f(x)dx表示由 曲线y=f(x),直线x=a,x=b 及x轴所围成的平面图形的 面积位于x轴上方的面积减去 位于x轴下方的面积,如右图 a l0 b 所示,即 f(x)dx=A-A2+ A3 冈凶
1 2 3 ( )d . b a f x x A A A = − + 如 果 f (x) 在[ a , b ] 上 有 正有负时，则 ( )d b a f x x 表示由 曲线y = f (x)，直线x a x b = = , 及 x 轴所围成的平面图形的 面积位于 x 轴上方的面积减去 位于 x 轴下方的面积，如右图 所示，即 A3 y = f(x) a O b x y + + − A2 A1
四、定积分的性质 性质1函数的代数和可逐项积分,即 TI()+g(x)dx='(x)dx+g(x)dx 性质2被积分函数的常数因子可提到积分号外面 即6f(x)dx=kf(x)dx(为常数) 性质3(积分区间的分割性质)若a<c<b,则 f(x)dx=f(x)dx+I f(x)dx 注:对于a,b,C三点的任何其他相对位置,上述性 质仍成立,譬如:a<b<c,则 (x)k=J(x+(x)dx=(x)d-(x), 冈凶
性质 1 函数的代数和可逐项积分，即 = b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx. 性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面， 即 = b a b a kf (x)dx k f (x)dx（k 为常数）. 性质 3 （积分区间的分割性质） 若 a c b，则 = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx. 注：对于 a,b,c 三点的任何其他相对位置，上述性 质仍成立，譬如：a b c ，则 = + = − c a b a c b b a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx, 四、定积分的性质
仍有f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx 性质4(积分的比较性质)在[a上若f(x)≥ (),则/(x)dx≥J,8(x) 性质5(积分估值性质)设M与m分别是f(x)在 [a,b]上的最大值与最小值,则 m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a) 证因为m≤f(x)≤M(题设),由性质4得 mdx≤[f(x)dx≤Mdx,再将常数因子提出,并利 用「dx=b-a,即可得证 冈凶
( )d ( )d ( )d . = + b a c a b c 仍有 f x x f x x f x x 性质 4 （积分的比较性质） 在a b, 上若 f (x)≥ g(x)， 则 b a f (x)dx ≥ b a g(x)dx. 性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 f (x)在 a b, 上的最大值与最小值，则 m b a ( ) − ≤ b a f (x)dx≤M (b − a). 证 因为 m ≤ f (x)≤M （题设），由性质 4 得 b a mdx≤ b a f (x)dx≤ b a Mdx ，再将常数因子提出，并利 用 x b a b a = − d ， 即可得证
性质6(积分中值定理)如果f(x)在[ab上连续, 则至少存在一点e[ab,使得/(x)x=f(5)b=a) 证将性质5中不等式除以b-a,得 f(x)dx≤M b 设(xx=,即m≤H≤M,由于f(x)为b 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值(这就是连续函数的介值定理) 因此在ab上至少有一点,使得f()=,即 f(xdx=f(s) b-a f(xdx=f(5(b-a) 冈凶
性质 6 （积分中值定理） 如果 f (x)在a,b上连续， 则至少存在一点 a,b，使得 = − b a f (x)dx f ( )(b a). 证 将性质 5 中不等式除以 b − a ，得 m ≤ − b a f x x b a ( )d 1 ≤M. 设 = − b a f x x b a ( )d 1 ,即m M .由于 f (x)为a,b 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）. 因此在a,b上至少有一点 ，使得 f ( ) = ，即 ( )d ( ), 1 = − b a f x x f b a ( )d ( )( ). = − b a f x x f b a