中值定理的几何意义:曲边y=f(x)在[a,b底上所围成 的曲边梯形面积,等于同一底边而高为f(2)的一个矩形面 积,如下图所示 y=f() 从几何角度容易看出,数值 f(x)dx表示 b 连续曲线y=f(x)在[ab上的平均高度,也就是函数 f(x)在[a,b上的平均值,这是有限个数的平均值概念的 拓广 冈凶
中值定理的几何意义：曲边y = f (x)在a,b底上所围成 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为f () 的一个矩形面 积，如下图所示. O a b x y f() y =f(x) 从几何角度容易看出，数值 − = b a f x x b a ( )d 1 表示 连续曲线 y = f (x)在a,b上的平均高度，也就是函数 f (x)在a,b上的平均值，这是有限个数的平均值概念的 拓广
例估计定积分「edx的值 解先求f(x)=e在-1,1上的最大值和最小值 因为f(x)=-2xex,令f(x)=0,得驻点x=0,比较 f(x)在驻点及区间端点处的函数值 f(0)=e=1,f(-1)=f(1)=e 故最大值M=1,最小值m 由估值性质得,≤edx 冈凶
例 估计定积分 x x e d 1 1 2 − − 的值. 解 先求 2 ( ) e x f x − = 在[-1,1]上的最大值和最小值. 因为 2 ( ) 2 e x f x x − = − ,令 f (x) = 0 ，得驻点 x=0 ，比较 f (x) 在驻点及区间端点处的函数值 (0) e 1, 0 f = = e 1 ( 1) (1) e 1 − = = = − f f , 故最大值 M = 1, 最小值 m = e 1 . 由估值性质得，e 2 ≤ x x e d 1 1 2 − − ≤2
思考题 1如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何 意义推证下列积分的值: R (1)|xdx; (2) R d R 2 (3)。 cos xdx (4)[rdx 0 2若当a≤x≤b,有f(x)≤g(x),问下面两个式子是 否均成立,为什么? 1)Jf(x)dx≤Jg(x)dx (2)|f(x)dx 8(x)d 冈凶
思考题 1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何 意义推证下列积分的值： (1) − 1 1 xdx; (2) R x x R R d 2 2 − − ; (3) 2π 0 cos xdx; (4) − 1 1 x dx. 2.若当a ≤x≤b,有 f (x)≤g(x) ，问下面两个式子是 否均成立，为什么？ （1） b a f (x)dx≤ b a g(x)dx ; （2） f (x)dx≤ b a g(x)dx
第二节微积分基本公式 变上限的定积分 二、牛顿-莱布尼茨 ( Newton- Leibniz)公式 冈凶
一、变上限的定积分 二、牛顿-莱布尼茨 （Newton-Leibniz）公式 第二节 微积分基本公式
第二节微积分基本公式 引例设物体以速度v=v(t)作直线运动,要求计算 [71,T2]时间内的路程s 从定积分概念出发,由前面已讨论的结果知道[1,T2 所经过的路程为v(d 若从不定积分概念出发,则知道函数为 v(t)dt=s(1)+C,其中s(t)=v(t),于是匹22]时间内所走 路程就是s(2)-s(T) 综合上述两个方面,得到v()dr=s(T2)-(7) 这个等式表明速度函数v(t)在[12]上的定积分,等 于其原函数()在区间[12]上的改变量那么,这一结 论有没有普遍的意义呢? 冈凶
引例 设物体以速度v = v(t)作直线运动，要求计算 [ , ] T1 T2 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[ 1 2 T ,T ] 所经过的路程为 2 1 ( )d T T v t t . 若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t)dt = s(t) +C,其中 s (t) = v(t)，于是[ 1 2 T ,T ]时间内所走 路程就是 ( ) ( ) 2 T1 s T − s . 综合上述两个方面，得到 = − 2 1 ( )d ( ) ( ) 2 1 T T v t t s T s T . 这个等式表明速度函数 v(t) 在[ 1 2 T ,T ]上的定积分,等 于其原函数s(t) 在区间[ 1 2 T ,T ] 上的改变量.那么，这一结 论有没有普遍的意义呢？ 第二节 微积分基本公式