变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间 隔[T1,T2l上的连续函数,且(t)≥0,要计算这段时间内 所走的路程.解决这个问题的思路和步骤与上例类似: (1)分割任取分点T=t0<1<2<…<tn1<n=T2,把 1T2分成n个小段,每小段长为 (2)取近似把每小段[t1,4上的运动视为匀速, 任取时刻∈[t1,,],作乘积v()t1,显然这小段时间 所走路程△可近似表示为v()At(i=1,2,…,n); (3)求和把n个小段时间上的路程相加,就得到总 路程s的近似值,即 ∑v 冈凶
2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间间 隔[ 1 2 T ,T ]上的连续函数，且v(t) ≥0，要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = ，把 [ 1 2 T ,T ]分成 n个小段，每小段长为 i = i − i−1 t t t （i =1,2,,n ）; (2)取近似 把每小段[ i i t ,t −1 ]上的运动视为匀速， 任取时刻 i i i t , t −1 ，作乘积 i i v( )t ，显然这小段时间 所走路程 i s 可近似表示为 i i v( )t （i =1,2,,n ）; (3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即 i n i i s v t = ( ) 1 ;
(4)取极限当A=max{△t}→>0时,上述总和的极限 就是s的精确值,即s=im∑v(5)△ 二、定积分的概念 定义设函数y=f(x)在[a,b]上有定义,任取分点 =x1<x2<x3<…<xn1<xn=b,分[a,b1为n个小区间 x1,x1]( ).记 △x1=x1-x1(=1,2,…,n),2=max{△x1} 再在每个小区间[x1x,1上任取一点5,作乘积f(5)Ax 的和式: ∑f(C2)△ 冈凶
(4)取极限 当 max 0 1 = → i i n t 时，上述总和的极限 就是s的精确值，即 i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 . a = x1 x2 x3 n n x x −1 = b ,分[ a , b ] 为 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1,2,,n).记 i i n i i i x = x − x i = n = x − 1 1 ( 1,2,, ), max , 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上任取一点 i ，作乘积 i i f ( )x 的和式： 定 义 设函数 y = f (x) 在[ a,b ]上有定义，任取分点 ( ) , 1 i n i i f x = 二、定积分的概念
如果λ→>0时,上述极限存在(即,这个极限值与[a,b 的分割及点2的取法均无关),则称此极限值为函数f(x)在 区间[a,b]上的定积分,记为 (x)kx=im∑f()△x A→>0 其中称f(x)为被积函数(x)dx为被积式,x为积分变量, [a,b]为积分区间,a,b分别称为积分下限和上限 冈凶
如果 → 0时,上述极限存在（即，这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数f (x)在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为 ( )d lim ( ) , 1 0 i n i i b a f x x = f x = → 其中称 f (x)为被积函数,f (x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a,b 分别称为积分下限和上限
定积分定义的说明: (1)定积分表示一个数,它只取决于被积函数与积分上 下限,而与积分变量采用什么字母无关,例如: xax=2d一般地,∫f(x)x f(t)dz (2)定义中要求积分限a<b,我们补充如下规定: 当a=b时,」f(x)dx=0, 当a>b时,f(x)dx f(x)dx (3)定积分的存在性:当f(x)在[a,b上连续或只有有 限个第一类间断点时,f(x)在a,b上的定积分存在(也称可 积) 冈凶
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： = 1 0 2 1 0 2 x dx t dt .一般地， = b a b a f (x)dx f (t)dt . (2)定义中要求积分限 a b ，我们补充如下规定： 当 a = b 时， = b a f (x)dx 0, 当 a b 时， = − b a a b f (x)dx f (x)dx . (3)定积分的存在性：当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 限个第一类间断点时, f (x)在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可 积）
三、定积分的几何意义 如果f(x)>0,则J。fx)x20,此时。fx)dx 表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积A,即(x)dx=A 冈凶
如果 f (x) 0 ，则 ( )d 0 b a f x x , 此时 ( )d b a f x x 表示由曲线y f x = ( )，x a x b = = , 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 = b a f (x)dx A . O x y a b A y=f(x) 三、定积分的几何意义