判定下列系统的完全能控性 -11000 0 0 0 0 07 0-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 01 0 文= 0 0 0 -1 0 00 x+ 111u 0 0 0 0 -2 1 0 123 0 0 0 0 0-2 1 0 10 0 0 0000-2 111
21 1 1 0 0 0 0 0 000 0 1 0 0 0 0 0 100 0 0 1 0 0 0 0 010 0 0 0 1 0 0 0 111 0 0 0 0 2 1 0 123 0 0 0 0 0 2 1 010 0 0 0 0 0 0 2 111 x xu ⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ − ⎦⎣ ⎦ & 判定下列系统的完全能控性
2、能控性指数 定义4-2对完全能控线性连续定常系统 文=Ax+Bu,x(0)=x。,t≥0 定义系统的能控性指数为山，山是使下式成立的最 小整数 u min{rank[B AB...A"B]=n( 4-57) 对单输入完全能控系统，有山=n。 对多输入系统，不妨设矩阵B为满秩。 U=[bb…b,AbAb,…Ab.Ab A
22 2、能控性指数 定义4-2 对完全能控线性连续定常系统 定义系统的能控性指数为 ， 是使下式成立的最 小整数 （4—57） 0 x Ax Bu x x & = + =≥ , (0) , 0 t μ μ 1 min{rank n [ ] B AB A B } μ μ μ − = L = 对单输入完全能控系统，有 。 μ = n 对多输入系统，不妨设矩阵 为满秩。 B 11 1 12 1 2 1 2 [ ] −− − U b b b Ab Ab Ab A b A b A b = L M L MLM L nn n p p p
在能控性矩阵中自左至右搜索线性独立列并重新排列为 b,Ah,…4-b;b2,Ab,…Ab2;…,bn,Ab。,…Ab。 这里显然有： μ1+u2++up=n (4-60) 则能控性指数μ满足 4=max{u1,从2，…μp} (4-61) 且称{u1,山2，μp}为系统的能控性指数集。 可推导出能控性指数的取值范围为 n/p≤u≤min(n,n-r+l) (463)
23 在能控性矩阵中自左至右搜索线性独立列并重新排列为 1 2 1 1 1 1 1 12 2 2 b Ab A b b Ab A b b Ab A b , , ;, , ;,, , p pp p μ μ − − μ − L LL L μ1 + μ 2 + L + μ p = n 这里显然有： （4-60） 则能控性指数 满足 （4 —61） 且称 为系统的能控性指数集。 μ max{ , , } μ = μ1 μ 2 L μ p { , , } μ 1 μ 2 L μ p 可推导出能控性指数的取值范围为 n p nn r / min( , 1) ≤ μ ≤ −+ （4 —63）
定理4-6 [简化的能控性判据]线性连续定常系统 x=Ax+Bu,x(0)=x。,t≥0 若rankB=r,则系统为完全能控的充分必要条件为 rankU-r+1=rank[B:AB::A"-rB]=n（4—64) 证明：见教材P122 简化的能控性判据能在能控性判别矩阵中计算较少 的列来判断系统的能控性，可减少计算量
24 定理4-6 [简化的能控性判据] 线性连续定常系统 若 ，则系统为完全能控的充分必要条件为 （4 —64） 0 x Ax Bu x x & = + =≥ , (0) , 0 t rank r B = 1 U B AB A B [ ] n r n r rank rank n − − + = M MLM = 证明： 见教材P122 简化的能控性判据能在能控性判别矩阵中计算较少 的列来判断系统的能控性 ，可减少计算量
例4一6某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系 统的完全能控性。 0 0 0 0 0 3 0 2 10 x= x+ 0 0 0 0 -2 0 0 0 y= 0 系统的能控性判别矩阵的维数为4×8 用定理4-6判定系统的能控性， 判别矩阵维数为4×6
25 例4－6 某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系 统的完全能控性。 0 1 00 00 3 0 02 10 0 0 01 00 0 200 01 1000 0010 x xu y x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ − ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ & 系统的能控性判别矩阵的维数为 用定理4-6判定系统的能控性， 判别矩阵维数为 4 × 8 4 6 ×