第三章 系统的稳定性
第三章 系统的稳定性
(1)系统分析 ·定量分析：求解系统的状态状态方程 ·定性分析：系统的性质及与系统结构参数之间的关系。 包括系统的稳定性 系统的能控性和能观性 (2)系统的稳定性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 ·内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 ·外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统输出对输入的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系
⑴ 系统分析 定量分析：求解系统的状态状态方程 定性分析：系统的性质及与系统结构参数之间的关系。 包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 • 系统稳定性有两种 内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统输出对输入的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 ⑵ 系统的稳定性 • • •
(3)本章内容 ●稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 ●李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据
⑶ 本章内容 • 稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据 •
3.1线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性。是有界输入有界输出稳定性，简 称为BIBO稳定性。 定义3一1考虑线性零初态的系统，如果由一个有界输入() u()≤um<o 对所有的t≥1， 所产生的输出y0)也是有界的，即 IJy)≤ym<o 对所有的t≥1， 则称系统是BIBO稳定的。 BIB0稳定必须假定系统是零初始条件的（(O)=0),因为系 统的输入输出描述是在此假定下才有意义
3.1 线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简 称为 稳定性。 定义3－1 考虑线性零初态的系统，如果由一个有界输入 u ( t ) 0 t t ≥ 所产生的输出 也是有界的，即 y(t) 对所有的 0 对所有的 t t ≥ 则称系统是 稳定的。 稳定必须假定系统是零初始条件的（ ），因为系 统的输入输出描述是在此假定下才有意义。 BIBO BIBO BIBO u (t) ≤ u m < ∞ y (t) ≤ y m < ∞ x(0) = 0
3.1.1单变量线性系统的BIBO稳定性判据 (1)脉冲响应函数判据 定理3一1线性系统的输入输出描述是 y()=g(t)u(t-t)dr 1 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 lgt,rldr≤M<oo -2) 式中，M是一个有限常数。 证明充分性：由式(3-1)，有 =8(u(-r)drsfdr ≤ug(,trldr≤unM 所以，系统的输出是有界的
3.1.1 单变量线性系统的 稳定性判据 ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－1 线性系统的输入输出描述是 = ∫ − tt y t g t u t d 0 ( ) ( ,τ ) ( τ ) τ 则系统是 稳定的充分必要条件是 ∫ g t d ≤ M < ∞ tt0 ( ,τ ) τ 式中， 是一个有限常数。 M 证明 充分性：由式（3－1），有 ∫ ∫ ∫ ≤ ≤ = − ≤ − t m t m t t t t u g t d u M y t g t u t d g t u t d 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) τ τ τ τ τ τ τ τ 所以，系统的输出是有界的 （3－1） （3－2） BIBO BIBO