现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x(D)2y=y(1),z=z(1)2t:a→>b, 这里t:a→b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x(0)+y2()+=(。注意到 (x'(),y(n),z()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T =(cos a, cos B, cosr) (x(t),y(t),=z() x2(t)+y2(t)+z2() 若向量值函数 f(,y,z)=P(x,y, z)i+o(x,y,2)j+R(x,y, z)k 在L上连续,那么由定理141.1得到第二类曲线积分的计算公式 J P(x, y, =)x+Q(x,y,=)dy+R(x,y,=)ds J[P(x, y, =)cosa+Q(x, J,=)cos B+R(x, y,2)cosr]ds ∫[P(xO)y)=()x(o)+gx(y(.=()y(o)+R(x(,y(n2()(o)d
若向量值函数 f (x, y,z) = P(x, y,z)i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k 在L 上连续，那么由定理 14.1.1 得到第二类曲线积分的计算公式 ( , , ) ( , , )d ( , , )d L P x y z x Q x y z y R x y z z + + ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos d L = + + P x y z Q x y z R x y z s ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) d . b a = + + P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t 现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), t : a → b ， 这里t : a →b表示参数t从a变化到b，这就确定了L 的方向。则L 是可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 2 2 d ( ) ( ) ( )d s x t y t z t t = + + 。注意到 (x (t), y (t), z (t))是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) 1 (cos ,cos ,cos ) 2 2 2 x t y t z t x t y t z t + + =
特别地,如果L的方程是 ),2=z(x),x b, J P(x, J, =)dx+@(x, y,2)dy+R(x,y,a)dz SIP(, y(x), =(x)+O(x, y(x) =(x)y(x)+R(x, y(x),=(x)2(x)]dx
特别地，如果 L 的方程是 y = y(x), z = z(x), x : a → b， 则 ( , , )d ( , , )d ( , , )d ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( )) ( ) d L b a P x y z x Q x y z y R x y z z P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x + + = + +
特别地,如果L的方程是 y=y(x),:=z(x), x:a>b, J P(x, J, =)dx+@(x, y,2)dy+R(x,y,a)dz P(,y(x),2(x)+O(,y(x), =(x)y'(x)+R(x, y(x),2(x))2(x)dx 如果L为xy平面上光滑曲线,其方程为 x=x(),y=y(t), t: a>6o JP(x, y)dx +O(x, y)dy=[P(x(),(O)x(+o(x(), y()y(]dt 因此,如果L是xy平面上的方程为 y=y(x),x:a→>b 的光滑曲线,则 jP(x, y)dx+@(, ydy=[P(, J(x)+O(x, y(x)y(x)]dx
如果 L 为 xy 平面上光滑曲线，其方程为 x = x(t), y = y(t)，t : a →b 。 则 ( , )d ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) d b a L P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t + = + 。 因此，如果L 是 xy平面上的方程为 y = y(x)， x : a →b 的光滑曲线，则 ( , )d ( , )d ( , ( )) ( , ( )) ( ) d b a L P x y x Q x y y P x y x Q x y x y x x + = + 。 特别地，如果 L 的方程是 y = y(x), z = z(x), x : a → b， 则 ( , , )d ( , , )d ( , , )d ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( )) ( ) d L b a P x y z x Q x y z y R x y z z P x y x z x Q x y x z x y x R x y x z x z x x + + = + +
例14.2.1计算∫y+x,其中L:(1)圆周x2+y2=R2的上半 部分,方向为逆时针方向;(2)从点M(R0)到点N(-R,0)的直线段。 解(1)这时L的参数方程为 x= Rcos t,y= Rsin t,t:0→>兀, 因此 ∫ydx+xy=「LRsm2 t(Rsint)+R2 cost(Rcost)dt RITO-cos 1)(-sin()+(1-sin'1)cost dt =-R (2)这时L的方程为 y=y(x)=0,x:R→>-R 因此 dx+xd 0·dx=0。 R Rx 图1422
例 14.2.1 计算 2 2 d d L y x x y + ，其中L ：（1）圆周x y R 2 2 2 + = 的上半 部分，方向为逆时针方向；（2）从点 M(R,0)到点 N(−R,0)的直线段。 解（1）这时L 的参数方程为 x R t y R t t = = → cos , sin , : 0 π， 因此 π 2 2 2 2 2 2 0 d d sin ( sin ) cos ( cos ) d L y x x y R t R t R t R t t + = − + π 3 2 2 3 0 4 (1 cos )( sin ) (1 sin )cos d 3 = − − + − = − R t t t t t R 。 （2）这时L 的方程为 y = y(x) = 0, x : R → −R， 因此 2 2 d d 0 d 0 R R L y x x y x − + = = 。 x y R 2 2 2 + = −R R x y O 图14.2.2