在曲线L上的点(x,y)处取L的弧长微元ds,作向量ds=rds,其中 r=(cosa,cosB,cosy)为曲线L在点(x,y,z)处与L同向的单位切向量 那么凼在x轴上的投影是 cos ads,记为dx,即dx= cos ads。同理记 dy= cos Bds,d=cos/ds。于是,第二类曲线积分又可以表示为 ∫:zdsd于」f·ds=∫P(x,y,A+Q(xy,)+R(x,y。 它也称为1-形式o=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)d在L上的第二类 曲线积分,记为∫o 特别地,如果L为xy平面上的定向光滑曲线段,第二类曲线积分 就简化为 ∫P(x,ydx+q(xy)y=∫[P( y)cos a+( x, y)cos B ]ds JIP(, y)cosa+O(x, D)sina]ds 其中a为L的沿L方向的切向量与x轴正向的夹角
特别地，如果 L 为 xy 平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分 就简化为 ( , )d ( , )d [ ( , )cos ( , )cos ]d [ ( , )cos ( , )sin ]d , L L L P x y x Q x y y P x y Q x y s P x y Q x y s + = + = + 其中 为L 的沿L 方向的切向量与 x 轴正向的夹角。 在曲线 L 上的点 (x, y,z) 处取 L 的弧长微元 ds ，作向量 ds =tds,其中 τ= (cos, cos , cos )为曲线 L 在点(x, y,z) 处与 L 同向的单位切向量。 那 么 ds 在 x 轴上的投影是 cos d s ，记为 dx ， 即 d cos d x s = 。同理记 d cos d y s = ，d cos d z s = 。于是，第二类曲线积分又可以表示为 ds L f t ds = d L f s ( , , )d ( , , )d ( , , )d L = + + P x y z x Q x y z y R x y z z 。 它也称为 1-形式 = + + P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d 在L 上的第二类 曲线积分，记为 L
第二类曲线积分定义在定向曲线(即指定了方向的曲线)上,它 具有如下性质 性质1(方向性)设向量值函数∫在定向的分段光滑曲线L上的 第二类曲线积分存在。记-L是定向曲线L的反向曲线,则∫在-L上的 第二类曲线积分也存在,且成立 注意这个等式两边的7是方向相反的
第二类曲线积分定义在定向曲线（即指定了方向的曲线）上，它 具有如下性质： 性质 1 （方向性）设向量值函数 f 在定向的分段光滑曲线L 上的 第二类曲线积分存在。记−L是定向曲线L 的反向曲线，则 f 在−L上的 第二类曲线积分也存在，且成立 L f τds = - L - f τds 。 注意这个等式两边的τ是方向相反的
性质2(线性性)设两个向量值函数f,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+/在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 ∫(a∫+Bg);rds=a∫f.rds+∫g:rds
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 f , g 在定向的分段光滑曲 线L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数, ， f + g 在L 上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L + f g τds L = f τds L + g τds
性质2(线性性)设两个向量值函数f,g在定向的分段光滑曲 线L上的第二类曲线积分存在,则对于任何常数a,B,a∫+/在L上 的第二类曲线积分也存在,且成立 ∫(a∫+Bg);rds=a∫f.rds+∫g:rds 性质3(路径可加性)设定向分段光滑曲线L分成了两段L和L2, 它们与L的取向相同(这时记为L=L1+L2),如果向量值函数∫在L上 的第二类曲线积分存在,则它在L和L2上的第二类曲线积分也存在。 反之,如果∫在L和L2上的第二类曲线积分存在,则它在L上的第二 类曲线积分也存在。且成立 ∫rds=∫rds+∫∫.rds
性质3（路径可加性） 设定向分段光滑曲线 L 分成了两段 L1 和 L2， 它们与L 的取向相同（这时记为L L L = +1 2 ），如果向量值函数 f 在L 上 的第二类曲线积分存在，则它在L1 和L2 上的第二类曲线积分也存在。 反之，如果 f 在L1 和L2 上的第二类曲线积分存在，则它在L 上的第二 类曲线积分也存在。且成立 L f τds 1 L = f τds 2 L + f τds 。 性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 f , g 在定向的分段光滑曲 线L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数, ， f + g 在L 上 的第二类曲线积分也存在，且成立 ( ) L + f g τds L = f τds L + g τds
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线L的方程为 x(D)2y=y(1),z=z(1)2t:a→>b, 这里t:a→b表示参数t从a变化到b,这就确定了L的方向。则L是可 求长的,且曲线的弧长的微分d=√x(0)+y2()+=(。注意到 (x'(),y(n),z()是曲线的切向量,因此它的单位切向量为 T =(cos a, cos B, cosr) (x(t),y(t),=z() x2(t)+y2(t)+z2()
现在讨论如何计算第二类曲线积分。设光滑曲线 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), t : a → b ， 这里t : a →b表示参数t从a变化到b，这就确定了L 的方向。则L 是可 求长的，且曲线的弧长的微分 2 2 2 d ( ) ( ) ( )d s x t y t z t t = + + 。注意到 (x (t), y (t), z (t))是曲线的切向量，因此它的单位切向量为 τ= ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) 1 (cos ,cos ,cos ) 2 2 2 x t y t z t x t y t z t + + =