ex2.在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x1)处的曲率等于此曲线在该点的线段PQ长度的倒 数(Q是法线与x轴的交点)且曲线在点(1,1)处的切 线与x轴平行 Solution.设曲线方程为y=y(x), 则在P(处的曲率为K=少2 (y">0) 孓n2 曲线y(x)在点P(xy)处的法线方程为 Y (X-x)(y≠0 它与x轴的交点为(x+yy,) K
ex2. 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的线段PQ长度的倒 数（Q是法线与x轴的交点）且曲线在点(1,1)处的切 线与x轴平行. Solution. 设曲线方程为y = y(x), 则在P(x,y)处的曲率为 2 3 (1 ) 2 y y K + = ( y 0) 曲线y=y(x)在点P(x,y)处的法线方程为 ( ) ( 0) 1 − − = − X x y y Y y 它与x轴的交点为 (x + yy ,0)
PQ=(0)2+y2=y1+y2 从而 (1+y2)2y1+y 2 yy"=1+y 2 y(1)=1 y(1)=0 由可降阶微分方程的解法得到通解,并求得特解
2 2 2 PQ = ( yy) + y = y 1+ y 2 2 1 1 (1 ) 2 3 y y y y + = + 从而 = + 2 yy 1 y y(1) = 1 y(1) = 0 由可降阶微分方程的解法得到通解, 并求得特解