3)单元刚度矩阵是对称矩阵。 4)第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5)一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。|[k]=0 不存在逆矩阵 k]{△} e e) F}正问题F △}反问题 M X 力学 模型 ----- 1/王 2 Y 解的区}为任何时,{0FFe F为不平衡力系时/e 性质都有唯一的解答。且总是 没有静力解 e 个平衡力系,不可能是不平F为平衡力系时A 衡力系。 有无穷多组解。 6
6 3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 不存在逆矩阵 [ ] 0 @ k = {D} e {F} e 正问题 力学 模型 将单元视为“两端有六个人工 控制的附加约束的杆件” {D} e 控制附加约束加以指定。 解的 性质 {D} 为任何值时， e {F} e 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平 衡力系。 {D} e {F} e 反问题 将单元视为“两端自由的杆 件”。 {F} e 直接加在自由端作为 指定的杆端力 {F} e 为不平衡力系时 没有静力解。 {D} e {F} e 为平衡力系时 有无穷多组解。 {D} e X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 @ @ @ {F} = [k ] {D}
n特殊单元 单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元 特殊单元的单元刚度矩阵,可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到 0 4EⅠ2EI 2EⅠ4EI 为了使计算过程程序化、标准化、自动化,只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算 机程序去自动形成。 某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的
8 ▪特殊单元 单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。 u1 =v1 =u2 =v2 =0 - - - - - - - - l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 6 4 0 6 2 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 6 2 0 6 4 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 = l EI l EI l EI l EI k 2 4 4 2 为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算 机程序去自动形成。 某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。 1q 1 2 2 q 1 2 M2 M1
813-3单元刚度矩阵(整体坐标系) 选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵 单元坐标转换矩阵 X=CosA+Y sin a Y=-Xsn a+Cosa M1=M1 X=X cosa+Y sin a Y=-XSn a+Cosa M M1=M1 2
9 •选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵 ▪单元坐标转换矩阵 X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 y x α y x α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos cos sin sin cos cos sin M M Y X Y X X Y M M Y X Y X X Y = =- + = + = =- + = + §13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
X cosa sina 0 000 X sIna cosa 00X1 0 0:000 0 cosa sina 0 00:-Sind cosa 0 0 0 0 (F}=[T]{F a F}=[7{F} 单元坐标转换矩阵[门是一正交矩阵。[T]=[7] 同理:{△}=[门]{4(b)→{△=[ 整体坐标系中的单元刚度矩阵 设:{F}=[k]{}将(a)、(b)代入{F=[k] [7{F}a=[][7]{△}0 T][]{FP=[Tk][7]{△}2
10 = @ 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X @ 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X - - 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 T= 单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。 T [T] [T] 1 = - 同理： ▪整体坐标系中的单元刚度矩阵 @ @ @ 设： {F} = [k] {D} 将（a）、（b）代入 （a） （b） @ @ @ [T]{F} = [k ] [T]{D} @ @ @ [T] [T]{F} = [T] [k ] [T]{D} T T @ @ {F} = [T]{F} @ @ {F} [T] {F} T = @ @ {D} = [T]{D} @ @ {D} = [ ] {D} T T @ @ @ {F} = [k ] {D}
F)a=[T[k[门A与{F}=[k{A}比较 [k=TYK]刀,同阶性质类似 kk2「[T[区21[ [k21][k2 21 1)k表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个 杆端力分量。 2)[k@是对称矩阵。 3)一般单元的]@是奇异矩阵。 例13-1求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。1=5m,A=0.5m2,I=1/24m4 E=3×107N EA 4 El =300×10,=25×10
11 1） ij k 表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个 杆端力分量。 2）[k] @ 是对称矩阵。 3）一般单元的[k] @是奇异矩阵。 例13-1 求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。l=5m，A=0.5m2 , I=1/24m4 E=3×107kN/m2 4 4 =30010 , =2510 l EI l EA 2 1 与 比较 @ @ @ {F} = [k] {D} @ @ @ [T] [T]{F} = [T] [k ] [T]{D} T [I ] T [ ] [ ] [ ] [ ] @ @ k T k T T = [k] @，[k] @ 同阶,性质类似： = [0] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 @ 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 @ 2 1 2 2 1 1 1 2 T T k k k k T T k k k k T T