浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第三章 线性代数方程组的求解

3.2直接法 3.2.1直接三角分解法(LU分解) 考虑 AX=b A非奇异 在 Gauss消去法中,每一步消元过程 相当于对A作一次初等变换。即左乘一个初 等变换矩阵T 第一步: 13) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 16 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 16 3.2 直接法 3.2.1 直接三角分解法（LU分解） 考虑 AX=b A非奇异 在 Gauss 消去法中，每一步消元过程 相当于对A作一次初等变换。即左乘一个初 等变换矩阵T。 第一步： 3 13 0 0 1 0 1 1 1 1 31 21 1               n l l l T 0

3.2.1 第k步 0 (3-14 0 0 到k步以后A化为 (3-15) 当k=n-1时,A化为上三角阵U,即 T,T…T,·A=U (3-16) 因此 A=T Tn1·U=LU (3-17 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 17 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 17 3.2.1 第k步 (3 14) 1 1 1 1 1 1,            nk k k k l l T    0 0 0 到k步以后A化为 当k=n-1时，A化为上三角阵U，即 因此 (3 15) Tk Tk1T1  A  (3 16) Tn1 Tn2T1  A U  (3 17) 1 1 1 2 1  1         A T T Tn U LU

3.2.1 其中L=1·n21…Tn (3-18) 为下三角矩阵,称(3-17)为A的三角分解。 由T性质,可以知 0 L=T-T-…T l32 2 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 8 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 18 3.2.1 其中 为下三角矩阵，称（3-17）为A的三角分解。 由Ti性质，可以知        1 1 1 1 , 1, 1 n i i i i l l T    (3 18) 1 1 1 2 1  1       L T T Tn            1 1 1 1 1 2 1 31 32 21 1 1 1 2 1 1 n n nn n l l l l l l L T T T        0 0

3.2.1 Gauss消去法的基本步骤 4 2-16 13 ()+-40()+-%40) 4-92 5 00.55 0.5 01.252.5x32.75 3+-1255(2) 00.55 0.5 0010x21.5 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 19 3.2.1 Gauss 消去法的基本步骤                       4 3 5 1 1 3 2 1 6 4 9 2 3 2 1 x x x                                 2.75 0.5 5 0 1.25 2.5 0 0.5 5 4 9 2 1 : 4 1 1 , 3 4 2 2 3 2 1 x x x                           1.5 0.5 5 0 0 10 0 0.5 5 4 9 2 2 : 0.5 1.25 3 3 2 1 x x x

3.2.1 所作的初等变换为 100「4-921「4-92 102-46=00.55 1301.252.5 A 049214-92 000.55|=00.55 125 0.5 101.252.50010 例:设 A=261 480 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 20 3.2.1 所作的初等变换为                        0 1.25 2.5 0 0.5 5 4 9 2 1 1 3 2 4 6 4 9 2 0 1 4 1 1 0 4 2 1 0 0 T1 * A = A1                        0 0 10 0 0.5 5 4 9 2 0 1.25 2.5 0 0.5 5 4 9 2 1 0.5 1.25 0 0 1 0 1 0 0 T2 * A1 = A2 u 例：设 记        4 8 0 2 6 1 2 2 1 A