第6章代数系统 第6章代数系统 6,1代数系统的基本概念 6.2二元运算的性质 6.3子代数和积代数 返回总目录
第6章 代数系统 第6章 代数系统 6.1 代数系统的基本概念 6.2 二元运算的性质 6.3 子代数和积代数 返回总目录
第6章代数系统 第6章代数系统 6.1代数系统的基本概念 6.1.1运算 1运算的定义 定义61.1设A是非空集合,从笛卡尔积A×A×…×A到 A的映射称为集合A上的n元运算。简称为n元运算 在定义611中,当n=1时,f称为集合A上的一元运算; 当n=2时,称为集合A上的二元运算 在讨论抽象运算时,“运算”常记为“* 等 设*是二元运算,如果a与b运算得到c,记作a*b=c;若*是 元运算,a的运算结果记作*a或米(a)
第6章 代数系统 6.1代数系统的基本概念 6.1.1运算 1.运算的定义 定义6.1.1 设A是非空集合,从笛卡尔积A×A×…×A到 A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 在定义6.1.1中,当n=1时,f称为集合A上的一元运算; 当n=2时,f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时,“运算”常记为“*” 、 “ ∘ ”等。 设*是二元运算,如果a与b运算得到c,记作a*b=c;若*是一 元运算,a的运算结果记作*a或*(a)。 第6章 代数系统
第6章代数系统 设A=1,a,},其中,a是非零实数。fA→A,定义 为:∨a∈A,fa)=-。容易看出是A上的一元运算。 又如,f:N×N→N,定义为:Vm,n∈N,mp)=m+n, 湜是自然数集合N上的二元运算,它就是普通加法运算。普 通减法不是自然数集合N上的二元运算,因为两个自然数相 减可能得到负数,而负数不是自然数。所以普通的减法不 是自然数集合N上的二元运算。 通过以上讨论可以看出,一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点 ①A中任何元素都可以进行这种运算,且运算的结果是 惟一的 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的
第6章 代数系统 设A=1 , a , ,其中,a是非零实数。f:A→A,定义 为:aA,f(a)= 。容易看出f是A上的一元运算。 又如,f:N×N→N,定义为:m,nN,f(m,n)=m+n, f是自然数集合N上的二元运算,它就是普通加法运算。普 通减法不是自然数集合N上的二元运算,因为两个自然数相 减可能得到负数,而负数不是自然数。所以普通的减法不 是自然数集合N上的二元运算。 通过以上讨论可以看出,一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点: ①A中任何元素都可以进行这种运算,且运算的结果是 惟一的。 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。 a 1 a 1
第6章代数系统 【例61】设N为自然数集合,米和。是N×N到N映射,规 定为:Ym,n∈N, m米1=min1m,n mon=maxmn( 则*和是N上的二元运算。 【例62】设N=10,1;…k-1}。N上的二元运算+定义为: 对于N中的任意两个元素,有 I+kJ ∫计+j计+j<k i+j-ki+j≥k 称二元运算+为模加法
第6章 代数系统 【例6.1】设N为自然数集合,*和∘是N×N到N映射,规 定为:m,nN, m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元运算。 【例6.2】设Nk =0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为: 对于Nk中的任意两个元素i和j,有 称二元运算+k为模k加法。 + − + + + + = i j k i j k i j i j k i j k
第6章代数系统 N上的二元运算×定义为:对于N中的任意两个元素i和 有 i×j<k ixkJ1除以的余数ⅸxj≥k 称二元运算×为模k的乘法。 模k加法+和模k乘法×是两种重要的二元运算 在N2=10,1,2,34.56}中,有4+2=6,4+15=2。如果把N 中的元素:0,1,2,3,4,5,6分别看作是:星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+12=6可解释为:星期四再过两天后是星期六;4+15=2可 解释为:星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释
第6章 代数系统 i j k i j k i j k i j i j k = 除以 的余数 称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7 =0,1,2,3,4,5,6中,有4+7 2=6,4+7 5=2。如果把N7 中的元素:0,1,2,3,4,5,6分别看作是:星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+7 2=6可解释为:星期四再过两天后是星期六;4+7 5=2可 解释为:星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。 Nk上的二元运算×k定义为:对于Nk中的任意两个元素i和 j,有