第七章偏微分方程 71一般介绍 72一阶双曲型方程的差分求解法 73一阶双曲型方程的特征线求解法 74一阶双曲型方程的线上求解法 75二阶椭圆型方程的差分求解法 76二阶椭圆型方程的有限元求解法 77二阶椭圆型方程的加权残差求解法 78二阶抛物型方程的差分求解法 79二阶抛物型方程的线上求解法 7.10二阶双曲型方程的特征线求解法 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 1 第七章 偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法 7.4 一阶双曲型方程的线上求解法 7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法 7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法 7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法 7.9 二阶抛物型方程的线上求解法 7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法
71偏微分方程的一般介绍 Partial Differential EquationS (PDEs) 自变量数至少2个 u=u(,y, F[x,y,,.,l,,L x axa 阶数方程中导数的最高阶数 b3u.=0 阶 LL+1.= 0 阶 u +u yy 三阶 性态 以一阶方程为例 (+b(x,+c()=0 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 2 7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs) • 自变量数 至少2个 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , 0 , , 2 2 2 x y u u x u u y u u x u u F x y u u u u u u u u x y x y xx xy x y xx xy yy = = = = = = • 阶数 方程中导数的最高阶数 0 0 0 3 3 + = + = − = x yyy xx y x y u u u u u b u 三阶 二阶 一阶 • 性态 以一阶方程为例 a()u + b()u + c() = 0 x y
7.1 a(b(c()为常数 a()=a(x,y)b()=b(x,y).c()=c(x,y) ()=(x,y) 线性 Linear 5,y,u 拟线性Qa uasilinea i X..uu.u 非线性 nonlinear 例 Ll.+b.=0 线性 L.+L..+x2=0 拟线性 L.+ 0 非线性 对二阶方程 A Ou+B(u+C(u DOu, +EOu,+F0=0 )=(x2y) 线性 E,y,u,ux,uy 拟线性 0)=(x,yn,u,un,n,n)非线性 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 3 7.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) ( ) ( ) () () () () ( ) () ( ) () ( ) x y xx xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y x y x y u u u u u u x y u u u x y A B C A u B u C u D u E u F u u u u u x u bu x y u u u x y u x y a a x y b b x y c c x y a b c : , , , , , , , : , , , , : , : , : , : : : : 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , 2 2 + + + + + = + = + + = + = = = = ： 对二阶方程 例 为常数 非线性 拟线性 线性 Nonlinear Quasilinear Linear 非线性 拟线性 线性 非线性 拟线性 线性
7.1 类型 阶栓区型方程 a(u2+b(xn+c()=0 流动方程 Advection Equation (ae) 二阶线性方程 Au+Bu+Cu +GO=0 B2-4AC<0椭圆型 elliptic u +u=f(x, y) Poisson方程 +L.=0 Laplace方程,传热方程 B2-4AC=0抛物型 parabolic 扩散方程 L.+·ll.=K·l y Bger方程 B2-4AC>0双曲型 hyperbolic 波动方程 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 4 7.1 • 类型 一阶栓区型方程 ( ) ( ) ( ) t x x y u v u a u b u c = + + = 0 流动方程 Advection Equation(AE) 二阶线性方程 Au + Bu +Cu +G() = 0 xx xy yy B 4AC 0 椭圆型 elliptic 2 − ( ) 方程，传热方程 方程 u u Laplace u u f x y Poisson xx yy xx yy 0 , + = + = B 4AC 0 抛物型 parabolic 2 − = 方程 扩散方程 u u u K u Burger u u x y yy x yy + = = B 4AC 0 双曲型 hyperbolic 2 − uxx = uyy 波动方程
7.1 求解方法 有限差分法 Method of finite differences(MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC 线上求解法 Method of lines (MOL) 有限元素法 Method of finite elements(MFE) 加权残差法 Method of weighed residuals(MwR) 问题 收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时,数值结果是否趋于理论值? △ 稳定性 Stabilit!y 在某一步引入的误差,经多步数值计算后,会扩大或抑制? → 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 5 7.1 • 求解方法 有限差分法 Method of Finite Differences (MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC) 线上求解法 Method of Lines (MOL) 有限元素法 Method of Finite Elements (MFE) 加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR) • 问题 收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？ 稳定性 Stability 在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？ dx dy x y → ( ) ( ) ( ) (k ) k ey y ey y 1 → 1