第章群、环和域 第7章群、环和域 7.1半群和独异点 7.2群与阿贝尔群 7.3子群 7,4陪集和拉格朗旦定理 7.5正规子群 7.6同态和同构 7.7循环群 7.8置换群 7.9环与域 返回总目录
第7章 群、环和域 第7章 群、环和域 7.1 半群和独异点 7.2 群与阿贝尔群 7.3 子群 7.4 陪集和拉格朗日定理 7.5 正规子群 7.6 同态和同构 7.7 循环群 7.8 置换群 7.9 环与域 返回总目录
第章群、环和域 第7章群、环和域 7.1半群和独异点 7.1.1广群和半群 代数系统<S,*又称为广群。 定义7.1.1设<S*>是代数系统,*是S上的二元运算,如 果米满足结合律,则称代数系统<S*>为半群。 例如,代数系统<,+>、<R少、<Ra),∪><Ra),∩> <Nk2+>和<N2×k都是半群 半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运 算组成的代数系统。设<S*是半群,如果运算*又满足交换 律,则称半群<S*>为可换半群。若S为有限集合,则半群 <S米>称为有限半群 定理71.1设<S*>是半群,*是S上的二元运算,BcS, 如果*在B上是封闭的,则<B*也是半群
第7章 群、环和域 第7章 群、环和域 7.1半群和独异点 7.1.1广群和半群 代数系统<S, *>又称为广群。 定义7.1.1 设<S, *>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S, *>为半群。 例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、 <Nk ,＋k>和<Nk ,×k>都是半群。 半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运 算组成的代数系统。设<S, *>是半群，如果运算*又满足交换 律，则称半群<S, *>为可换半群。若S为有限集合，则半群 <S, *>称为有限半群。 定理7.1.1 设<S, *>是半群，*是S上的二元运算，BS， 如果*在B上是封闭的，则B, *也是半群
第章群、环和域 证明:因为*在B上是封闭的,所以*是B上的二元运算 <B*是代数系统。∨a,b,c∈B,由于BcS,所以a,b,c∈S,又 由于<*是半群,所以(a*b)C=米(b米C),故<B,*是半群 定义71.2定理71.1中的半群<B*叫做半群<S*的子半 群。 例如,因为g≌R且乘法在有理数集上是封闭的,由定理 7.1.1和定义712,<;>是<R>的子半群,所以<Q;>是半群。 类似的可以证明<N>、<[0,1,>和<(0,1)>是半群。 定理71.2设<S*是半群,S是有限集,则必有a∈S,使 得 C米a=a 证明:∨b∈S,由*在S上的封闭性知: b2=b*b∈S b3=b2*b∈S
第7章 群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。 B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又 由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B, *是半群。 定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B, *叫做半群S, *的子半 群。 例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半群。 类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。 定理7.1.2 设S, *是半群，S是有限集，则必有aS，使 得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b 2=b*bS b 3=b 2*bS …
第章群、环和域 因为S是有限集,所以必有≤j使 b=b令p=i,则p=1,而p+ bl=/=bP+i=bp *b2 于是下式成立 b9=b*b9q≥i 因为p=1,总可以找到1,使得k≥i 对于S中的元素b,就有 bkp=bP*bkp =b*(b*b) b2P*b知 b2p*(bp*bkp) bkp**bkp 令a=b,a米a=a
第7章 群、环和域 因为S是有限集，所以必有i＜j使 b i=bj 令p=j–i，则p=j–i≥1，而j=p＋ i b i=bj=bp+i=bp*b i 于是下式成立： b q=bp*b q q≥i 因为p=j–i≥1，总可以找到k≥1，使得kp≥i 对于S中的元素b kp，就有 b kp=bp*b kp =bp*(b p*b kp) =b2p*b kp =b2p*(bp*b kp) =… =bkp*b kp 令a=bkp，a*a=a
第章群、环和域 设Ⅰ是正整数集合,+是Ⅰ上的普通加法,加法在正整 数集合上封闭且适合结合律。所以<l+,+>是半群。但因/+ 是无限集,所以中没有幂等元 例7.1】设R是实数集,定义R上的二元运算*为: Vx,y∈R,x*y=xy 其中xy为实数x与实数y的绝对值的乘法运算,证明<R*>是 个半群 证明:显然,x,y∈R,则xy∈R,故运算*在R上封闭 接下来只需验证*满足结合律。Vx,y,z∈R,有 (x*y)米二=(x8y)=(xby1)=xy x(y)=xy米=xy2|1xy|2 所以,(x*y)*z=x*(y*z),故<R*是一个半群。 7.1.2独异点 定义71.3设<G*是半群,如果运算*的单位元eeG, 则称半群<G*为含幺半群或独异点
第7章 群、环和域 设I＋是正整数集合，＋是I＋上的普通加法，加法在正整 数集合I＋上封闭且适合结合律。所以I＋,＋是半群。但因I＋ 是无限集，所以I＋中没有幂等元。 【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y| 其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明<R, *>是 一个半群。 证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有 (x∗y)∗z=(x∗y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z| x∗(y∗z)=x|y∗z|=x|y|z||=x|y||z| 所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R, *>是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G, *是半群，如果运算*的单位元eG， 则称半群G, *为含幺半群或独异点