浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第三章 线性代数方程组的求解

314线性代数方程组的性态 线性方程组(3-2)的解完全由A和b确定。 在实际问题中 由于各种原因,A和b是有误差 研究A和b的微小摄动对解x的影响十分重要的 这种影响的大小反映了问题的“性态”。 在(3-2)中,如果A-1存在,则解可表示为 X=A-b 又设4,Ob为Ab的微小摄动,而Sx是由 此而使x产生的误差。即 x+4=(+4)(b+8) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 11 3.1.4 线性代数方程组的性态 线性方程组(3-2) 的解完全由A和b确定。 在实际问题中: 由于各种原因，A和b是有误差 研究A和b的微小摄动对解x的影响十分重要的 这种影响的大小反映了问题的“性态” 。 在（3-2）中，如果A-1存在，则解可表示为 x=A-1b 又设 为A,b的微小摄动，而 是由 此而使x产生的误差。即 A,b x x A  AA b b 1

3.1.3 示例在4位字长的计算机上解方程组 3.000x1+4.127x2=1541 3-10 1.000x,+1.374x=5.147 此方程组的真解是 x1=13.6658,x2=-62 而取a1=30作为主元的消元法解得 x1=9.951 3.500 误差很大 如果把(3-10改成: 3.000x,+4.122x=15.41 1.000x,+1.374x,=5.147 则方程组矛盾。事实上(3-1)是(3-10通过 微小摄动而得。可以想象(3-10)是“坏条件” 的。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 12 3.1.3 示例 在4位字长的计算机上解方程组           的。 微小摄动而得。可以想象（ ）是“坏条件” 则方程组矛盾。事实上 只是 通过 如果把 改成： 误差很大 而取 作为主元的消元法解得 此方程组的真解是 3 10 3 11 3 10 3 11 1.000 1.374 5.147 3.000 4.122 15.41 3 10 9.951, 3.500 3.000 : 13.6658, 6.2 : 3 10 1.000 1.374 5.147 3.000 4.127 15.41 1 2 1 2 1 2 11 1 2 1 2 1 2                            x x x x x x a x x x x x x

3.1.3 现给出一般情形的估计式 设 SA 则可以证明以下估计式 allk( 4/ (3-12) 其中 A()=144 △=8A.|A-<1 可见,k(A)近似表示了方程组求解的误差的 相对放大率 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 13 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 13 3.1.3 现给出一般情形的估计式 设 则可以证明以下估计式 其中 可见，k(A)近似表示了方程组求解的误差的 相对放大率 1 1    A A   2 3 12 1            b b A k A A x x     1 1 1         A A k A A A 

3.1.3 换言之,‖44的大 表示问题的病态程度 k(A称为计算问题(3-2)的条件数 Condition number 现在再看前例: 3.0004.127 1.0001.347 274.8825.6 200.0-600.0 AlL=max l≤j≤n ∑al=5501 1425.6 Com()=k(4)=1441=78422 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 14 3.1.3 换言之， 的大小 表示问题的病态程度 k(A)称为计算问题（3-2）的条件数 Condition Number 现在再看前例：     7842.2 1425.6 max 5.501 200.0 600.0 274.8 825.6 1.000 1.347 3.000 4.127 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                              Cond A k A A A A A a A A n i ij j n 1 A  A

3.1.3 可见计算对象(3-10)是病态的 应当指出: 1.de(A)的值小未必会引起A病态 例如:(0.1000 A 0.100.2 detA)=0.02,而A是好条件的。 2.严格来说,估计式只给出了好条件 的充分条件,但不是必要条件。 3.由于数据误差在线性系统中引起 的固有的不可靠的使得任何过分 精度要求的企图都是徒劳的。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 15 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 15 3.1.3 可见计算对象（3-10）是病态的。 应当指出： 1. det(A)的值小未必会引起A病态 例如： det(A)=0.02，而A是好条件的。 2. 严格来说，估计式只给出了好条件 的充分条件，但不是必要条件。 3. 由于数据误差在线性系统中引起 的固有的不可靠的使得任何过分 精度要求的企图都是徒劳的。        0.10 0.2 0.10 0.0 A