电子工业出版社：计算机类本科规划教材《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第5章 函数

第5章画数 第5章函数 5.1函数的基本概念 5,2反函数和复合函数 53集合的基数 返回总目录

第5章 函数 第5章 函数 5.1 函数的基本概念 5.2 反函数和复合函数 5.3 集合的基数 返回总目录

第5章画数 第5章函数 51函数的基本概念 定义511设4和B是两个任意集合,是到B的二元关 系,如果对于A中的每一个元素x,都存在B中惟一元素y, 使得<x,少>∈f,则称是A到B的函数或映射。记为:A→B xJ>∈f,常记为y=(x),x称为自变元或像源,y称为在作 用下x的函数值或像 由函数的定义可以看出,函数是一种特殊的二元关 系。若是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下 ①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像,所以 A=domf。这称为像的存在性。 ②函数的定义中还强调像y是唯一的,称做像的惟 性。像的惟一性可以描述为:设fx1)=y1且fx2)=y2。如果 x1=x2,那么yy2。或者,如果y为2,那么x1x2

第5章 函数 5.1函数的基本概念 定义5.1.1设A和B是两个任意集合，f是A到B的二元关 系，如果对于A中的每一个元素x，都存在B中惟一元素y， 使得x,yf，则称f是A到B的函数或映射。记为f：A→B。 x,yf，常记为y=f(x)，x称为自变元或像源，y称为在f作 用下x的函数值或像。 由函数的定义可以看出，函数是一种特殊的二元关 系。若f是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下： ①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像，所以 A=dom f。 这称为像的存在性。 ②函数的定义中还强调像y是唯一的，称做像的惟一 性。像的惟一性可以描述为：设f(x1 )=y1且f(x2 )=y2。如果 x1 =x2，那么y1 =y2。或者，如果y1≠y2，那么x1≠x2。 第5章 函 数

第5章画数 【例52】设N为自然数集合,下列N上的二元关系是 否为函数? 户<,2x>|x∈M g=1<x2>|x∈N 解:和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数 常记为:N→N,fx)=2x和g:N→N,g(x)=2 设A和B是两个任意集合,A×B任意子集是A到B的二 元关系,但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时 由定理41.1的证明过程可以看出,A到B的二元关系共有 2B个,A到B的函数有多少个呢?以下研究这个问题。 设A和B是两个任意的集合,/:A→B是到B的所 有函数构成的集合,常记为B4。读作B上A

第5章 函数 【例5.2】设 N为自然数集合，下列N上的二元关系是 否为函数？ f=x,2x | xN  g=x,2 | xN  解：f和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数， 常记为f：N→N，f(x)=2x和g：N→N，g(x)=2。 设A和B是两个任意集合，A×B任意子集是A到B的二 元关系，但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时， 由定理4.1.1的证明过程可以看出，A到B的二元关系共有 2 |A||B|个，A到B的函数有多少个呢？以下研究这个问题。 设A和B是两个任意的集合，f |f：A→B是A到B的所 有函数构成的集合，常记为B A。读作B上A

第5章画数 【例53】设A=12,3},B={ab},求B4。 解:由A到B的函数有以下8个 f6=1<1,a>,<2,④>,<3 f=<1,4>,<2,a,<3,b>} f=1<1,m>,<2,b>,<3 f=1<1,a,<2,b>,<3,b> f=1<1,b>,<2,④>,<3 f=<1,b>,<2,④>,<3,b> f=1<1,b><2,b>,<34 f=1<1,b><2,b>,<3b> B4=G0,f1,2,f3,f1f5,f6,f A到B的函数共8个,8=23=BH。 当A和B都是有限集时,这个结论可以推广。一般地 说,若4Fm,|B=n,则B4=m=|B

第5章 函数 【例5.3】设 A=1,2,3，B=a,b，求B A 。 解：由A到B的函数有以下8个： f0 =1,a,2,a,3,a f1 =1,a,2,a,3,b f2 =1,a,2,b,3,a f3 =1,a,2,b,3,b f4 =1,b,2,a,3,a f5 =1,b,2,a,3,b f6 =1,b,2,b,3,a f7 =1,b,2,b,3,b B A= f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7  A到B的函数共8个，8=23=|B| |A|。 当A和B都是有限集时，这个结论可以推广。一般地 说，若|A|=m，|B|=n，则|B A |=n m=|B| |A|

第5章画数 定义51.2设A和B是两个任意的集合,f:A→B A1cA,集合{(x)kx∈A1}称为集合A1在/下的像,记为A1)。 集合A在下的像f(4)=(x)k∈A}称为函数像。显然, 函数的像八A)就是二元关系f的值域,即A)ranf 【例54】设:1,2,3}→1a,b}, <1,④>,<2a,<3,b>},A1=1,2}, 试求A1在下的像(A1)和函数f的像f(4) 解:fA1)={f(x)k∈A1}=1),f(2)}=a} f4)=x)kxeA8=(1),f(2),f3)=a,b

第5章 函数 定义5.1.2 设A和B是两个任意的集合，f：A→B， A1A，集合f(x) |xA1称为集合A1在f下的像，记为f(A1 )。 集合A在f下的像 f(A)= f(x) |xA称为函数f的像。显然， 函数f的像f(A)就是二元关系f的值域，即f(A)=ran f。 【例5.4】设f：1,2,3 →a,b， f=1,a,2,a,3,b，A1 =1,2， 试求A1在f下的像f(A1 )和函数f的像f(A)。 解：f(A1 )= f(x) |xA1=f(1), f(2)=a f(A)= f(x) |xA=f(1), f(2), f(3)=a,b