3.1.3向量范数、矩阵范数 定义1.对于任一向量是x∈R”,按照一定 规则确定一个实数与它对应。该实数记米x 若x满足下面三个性质: ()|≥0,|=0÷x=0 (2)对任意实数a,al= (3)对vy∈R",‖ x+训≤xl 那么实数 称为向量x的范数。 设x=(x1,x2…,xn),,则它常用的几 种范数有: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 3.1.3 向量范数、矩阵范数 定义1. 对于任一向量是 ，按照一定 规则确定一个实数与它对应。 该实数记为 ， 若 满足下面三个性质： 那么实数 称为向量x的范数。 设 ，则它常用的几 种范数有： n x R 对 。 对任意实数 ， ， y R x y x y x x x x x n 3 , 2 ; 1 0 0 0; x , , , , 1 2 T n x x x x x x
3.1.3 l‖=x;+x+∴+x 2=∑x(3-4) x|+{x2|+…+x=∑ maX 可以验证,以上定义的几种范数均满足 三个范数的性质。它们的几何意义见图3 从向量范数出发可以定义矩阵范数。 定义2:设A为nxn阶矩阵。定义 maX maXX x≠0 x∈Rn x∈Rn 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 3.1.3 max , , , 3 6 3 5 3 4 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 n n i n i n i n i x x x x x x x x x x x x x x 可以验证，以上定义的几种范数均满足 三个范数的性质。它们的几何意义见图3.1 从向量范数出发可以定义矩阵范数。 定义2：设A为nn阶矩阵。定义 Ax x Ax A n n x R x x R x 0 1 max max
3.1.3 7.4 5.5 4.5 X W 2:43 2.0 图3.1向量范数的几何意义 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 3.1.3 5.5 12 7.4 1 2 x x x 1 2 3 x x , x , x 2 x 1 x 3 x 2.0 5.5 4.5 | x| 2 图3.1 向量范数的几何意义
3.1.3 这样定义的矩阵范数具有性质 )4≥0,4=0÷A=0, 2)对a∈R,4l=l‖ (3)对B∈R"xR",A+Bs|4+|B (4)Wx∈R,有Ax4|x (5)对B∈R"xR",‖A·B≤|4B 显然,这样定义的矩阵范数与向量范数 的定义方法有关。 前面三种常用的向量范数相应的矩阵范数是 (3-7) (是!A的最大特征值) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 3.1.3 这样定义的矩阵范数具有性质： 对 。 有 对 对 ， B R R A B A B x R Ax A x B R R A B A B R A A A A A n n n n n 5 , 4 , ; 3 , ; 2 ; 1 0, 0 0; 显然，这样定义的矩阵范数与向量范数 的定义方法有关。 前面三种常用的向量范数相应的矩阵范数是 是A A的最大特征值 A T 1 2 1 3 7
3.1.3 - maX l≤j≤n - maX 1≤i<n 另外,关于范数有一个很重要的等价定理: 定理:有穷线性空间上的一切范数都是 等价的。即对任意两种范数 有关系式: <M 其中m,M是与α,B有关的常数 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 0 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 3.1.3 max 3 9 max 3 8 1 1 1 1 1 n j ij i n n i ij j n A a A a 另外，关于范数有一个很重要的等价定理： 定理：有穷线性空间上的一切范数都是 等价的。即对任意两种范数 有关系式： , 其中 是与， 有关的常数 m M m M ,