x=e cos- I 00x=n(1+t2) =e sin t, y=t-arc tant 9.求曲线x、21+t2 上与I=1对应的点处的切线和法线方程 1+t 1+t 10.设方程 确定y为x的函数,其中t为参变量, Isin y-y 11.证明曲线 「x=a(cost+sint) ly=a(sint -t cost) 上任一点的法线到原点的距离等于a。 12.设函数=g(x)在x=x0处连续,y=f(u)在u==8(x0)处连续。请举例说明, 在以下情况中,复合函数y=f(8(x)在x=x0处并非一定不可导: (1)=g(x)在x0处可导,而y=f(u)在处不可导 (2)=g(x)在x0处不可导,而y=f(a)在处可导; (3)l=g(x)在x0处不可导,y=f(u)在处也不可导 13.设函数f(u),g(u)和h(a)可微,且h(u)>1,u=qp(x)也是可微函数,利用一阶微 分的形式不变性求下列复合函数的微分: (1)f(a)g(a)h(u); f(u)g(u) h(u) (3)h(a)(m); ()logh(ag(u): 5)arc tan h(u) f2()+h(l) 习题4.5 1.求下列函数的高阶导数:
⑼ ⎩ ⎨ ⎧ = = − − e sin ; e cos , 2 2 2 2 y t x t t t ⑽ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + arc tan . ln(1 ), 2 y t t x t 9．求曲线 3 2 1 2 t t t x + + = ， 3 2 1 2 t t t y + − = 上与t = 1对应的点处的切线和法线方程。 10．设方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = + + 0. 2 sin 3 2 1, 2 π t y y e t t x 确定 y 为 x 的函数，其中t 为参变量，求 dx t=0 dy 。 11. 证明曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + (sin cos ). (cos sin ), y a t t t x a t t t 上任一点的法线到原点的距离等于 a 。 12．设函数u g = (x)在 x = x0 处连续， y f = (u)在u u = = g x 0 ( ) 0 处连续。请举例说明， 在以下情况中，复合函数 y f = ( ( g x)) 在 x = x0 处并非一定不可导： ⑴ u g = (x)在 x0 处可导，而 y f = (u)在u0 处不可导； ⑵ u g = (x)在 x0 处不可导，而 y f = (u)在u0 处可导； ⑶ u g = (x)在 x0 处不可导， y f = (u)在u0 处也不可导。 13．设函数 f u( ) ， g u( ) 和 h u( ) 可微，且 h u( ) > 1，u = ϕ(x)也是可微函数，利用一阶微 分的形式不变性求下列复合函数的微分： ⑴ f u( )g( ) u h(u) ； ⑵ f u g u h u ( ) ( ) ( ) ； ⑶ h u g u ( ) ( )； ⑷ log ( ) h(u) g u ； ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) arc tan h u f u ； ⑹ 1 2 2 f u( ) + h ( ) u . 习 题 4.5 ⒈ 求下列函数的高阶导数： 6
(1)y=x3+2x2-x+1,求y"; y=x 求y In x 求 1+x (5)y=sinx3,求y"、y (6)y=x3cos√x,求y"、y (7)y=x2ex,求y"; y= e- arcsin x,求 求y(80); 00y=(2x2+1)shx,求y 2.求下列函数的n阶导数yn (1)y=sinox (2)y=2 Inx y= 5x+6 (5)y=ecosβx (6)y=sin" x+cos+x 3.研究函数 x≥0, x< 的各阶导数。 4.设f(x)任意次可微,求 Lf(n x)": f(x)I' ff(e-r)l [f(arc tan x)] 5.利用 Leibniz公式计算yn(0): (1) y= arc tan x,(提示:y(1+x2)=1); y= arc sin x,(提示:xy’=(1-x2)y”) 6.对下列隐函数求 dy
⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′ ； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′ ； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′ ； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′ ； ⑸ y x = sin 3，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′ ； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80) ； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) ⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y( n) ： ⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 的各阶导数。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′ ； ⑵ ″ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f 1 ； ⑶ [ ( f ln x)]′′ ； ⑷ [ln f x( )]′′ ； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′ ； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x ，（提示： y x ′(1 1 + ) = 2 ）； ⑵ y = arc sin x ，（提示： xy′ = (1− x ) y′′ 2 ）. 6． 对下列隐函数求 d y dx 2 2 ： 7