NAN DA XUE JING PIN KE CHENG vE>0,/a-1=cn< 要使a-1<5,只须a-<,即n a-1 取N[2]则￥时,有G=1公 故m%a=1(其中a> OD 高等數粤
>0, , 1 1 n a a n n − − = −1 , n 要使 a , 1 − n a 只须 . 1 即 即可 − a n , , 1 . 1 − − = n n N a a 取N 则当 时 有 lim =1 ( 1). →+ a a n n 故 其中
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (3)设0<a<1,则>1邮2)知口mn1=1 即E>0,3N,当mN时,有1<E C <E. a 或 <a≤E.(因0<a<1 lm巛a=1.(0<a<1) 综合得im√a=1.(a>0) n→>+oO OD 高等數粤
(3) 设 0 < a < 1, 1. 1 1, (2) lim 1 = →+ n a n a 则 由 知 即 >0, N, 当n>N时, 有 1 . 1 n − a . 1 − n n a a 即 n n 或 a −1 a . (因 0 < a < 1) 综合得 lim =1. ( 0). →+ a a n n lim =1. (0 1). →+ a a n n
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 本例也可用有理化的方法处理.注意到公式 b”-1=(b-1)(b”+b”2+…+b+1) 从而Ka-1=a-1.(将看作公式中的a>1 (《a-1)(wa)+(Va)2+…+1 (《a)n+(a)2+…+1 (分母都用1代) 以下同(2) OD 高等數粤
本例也可用有理化的方法处理. 注意到公式 1 ( 1)( 1) 1 2 − = − + ++ + − − b b b b b n n n 从而 a −1 = a −1. ( a b,a 1) n n 将n 看作公式中的 ( ) ( ) 1 ( 1)[( ) ( ) 1] 1 2 1 2 + + + − + ++ = − − − − n n n n n n n n n a a a a a n a −1 (分母都用1代). 以下同(2)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 第二节数列极限的性质及收敛准则 、数列极限性质 定理1.若数列收敛,则其极限唯 证 6+8 反设x收敛,但极限不唯 即,xn2>a,且xn2→>b,(m→>O)a≠b 设b<a取=~b 2 OD 高等數粤
b a x b+ 证: 反设xn收敛, 但极限不唯一, , 2 a − b 设b<a, 取 = 即, xn→a, 且xn →b, (n→), ab. 第二节 数列极限的性质及收敛准则 一、数列极限性质 定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,3正整数N,使得当n>N时, 都有xn以k<ED=mi呗 0←I 由极限定义,M1,当n>M时,|x1qb N2,当n>N时,x-bkb 2 取N=max{N1,N2},则当n>N时,上两式同时成立 从而当n>N时,有 b=+x-bka-xn+lxn-b 6 a-b < a-b矛盾,故极限唯 2 2 OD 高等數粤
由极限定义, 1 , 当n>N1时, , 2 | | a b xn a − − N2 , 当n>N2时, 2 | | a b xn b − − 取N=max{N1 , N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立. 从而当 n>N时, 有 a b | a b | | a x x b | | a x | | x b | − = − = − n + n − − n + n − a b a b a b = − − + − 2 2 矛盾, 故极限唯一. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记