NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 即nh1<加,或n、h, 即可 取正整数N≥ In a 则当n>N时,有 n In a 从而有 9-0<8 故mq=0 OD 高等數粤
即 n ln |q | < ln , . ln | | ln 或 即可 q n 取正整数 , ln | | ln q N 则当 n > N 时, 有 , ln | | ln ln | | ln q q n 从而有 lim = 0. →+ n n 故 q | q n − 0 | <
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,正整数N,使得当n>N时, 都有r aa.w xmiI际呗 例3.证明im- COSnT=0 证:比E>0(要证N,当n>N时,有|2u-0ke) 因|xn-0conx-0.要使|x1-0kE 只须-<E,即n>-取N=[],则当n>N时,有 Lxr-0-COSnI-0K& t lim -COSnT=0 高等歐學
例3. 证明 cos 0 1 lim = → n n n 证: >0 cos 0 | ) 1 | n − n . 1 cos 0 | 1 | 0 | | n n n x 因 n − = − | −0 | n 要使 x , 1 n 只须 则当n>N时, 有 cos 0 | . 1 | − 0 |=| n − n xn (要证N, 当n>N时, 有 ], 1 . [ 1 即n 取N = cos 0. 1 lim = → n n n 故 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例4.证明l n+a Im 1.其中a为常数 n→>+O vn"+a 证:xn ,a=1.VE>0,由于 n +a n+a-n n -d (Vn2+a2+m) OD 高等數粤
例4. lim 1. . 2 2 证明 其中 a为常数 n n a n = + →+ 证 : , 1. 2 2 = + = a n n a x n >0, 由于 n n a n n n a x n a + − − = + − = 2 2 2 2 | | 1 ( ) 2 2 2 n n a n a+ + = . 2na
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 要使|xn-a|<E,只须<E,即n>2即可 取正整数N≥ 则当n>N时,有 n+a <8 2 故im n+a n→)+0 OD 高等數粤
要使 | xn − a | < , , 2 n a 只须 . 2 即 即可 a n , 2 a 取正整数N 则当 n > N 时, 有 − + 1 2 2 n n a lim 1. 2 2 = + →+ n n a n 故
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5.证明mwa=1其中a>0为常数 n→)+ 证:(1)设a=1,结论显然成立 (2)设a>1,令=1+an,(an>0),从而 a=(1+an)″=1+Con+Cna2+…+Cnan >1+nn a OD 高等數粤
例5. 证明 lim =1.其中 0为常数. →+ a a n n 证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, =1+ ( 0), n n n 令 a 从而 n n n n n n n n n a = +n = +C +C ++C 1 2 2 (1 ) 1 > 1+ nn . 1 n a n − 得