NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 数列的有界性 定义:没有数列xnJf(m),若彐M0,使得rnl≤M,n=1, 2,…则称数列x有界,否则,称xn无界 几何意义:由于kxl≤M→Mxn≤Mxn∈[M,M 故,所谓x,有界,就是x要全部落在某个 对称区间[M,M内.看图 M M OD 高等數粤
几何意义: 数列的有界性. 定义: 没有数列xn =f (n), 若M>0, 使得|xn |M, n=1, 2, …. 则称数列xn有界, 否则, 称xn无界. 由于 |xn |M−MxnM xn[−M, M]. 故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个 对称区间[−M, M]内. 看图 0 M x xn −M ( )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.xn=(-1)有界,而xn=m2无界 2n-1 014 OD 高等數粤
例1. xn=(−1)n有界, 而xn =n 2无界. x −1 1 x 0 1 4 9 x1 x2 x3 0 x2n x2n-1
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,正整数N,使得当n>N时, 都有xn-,=xmi际呗 0← 定理2.若{xn}收敛,则{xn}有界 证 -1 a a+l m 设xna(n→>∞)2由定义,对E1,存在自然数N, 当n>N时,有n-a|<1,故kxna+11+a 取Mmax{x1,x2,x,1+a} 则对n=1,2,…,有pxl≤M OD 高等數粤
设xn→a (n→), 则对n=1, 2, …,有|xn |M 证: 由定义, 对=1, 存在自然数N, 当n>N时, 有|xn−a|<1, 故 |xn ||xn−a|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x1 |, |x2 |,…, |xN|, 1+|a|} x a–1 a a+1 ( ) M 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记 定理2. 若{xn}收敛, 则{xn}有界
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理2的逆命题不成立,如xn=(-1)y有界, 但由定义和几何意义知(-1y是发散的看图 OD 高等數粤
定理2的逆命题不成立, 如xn=(−1)n有界, 但由定义和几何意义知(−1)n是发散的. 看图 x −1 0 1 ( ) ( )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理3.设mxn=a,myn=b,且a>b n→)+O n→)+0 则彐正整数N,当n>N时,有xn>yn a-b 证:如图 2 b +b 由于limx,=a,in b由极限定义知 n n→)+o b 对: 8 >0,3正整数N,当n>N时,有 x.-a< OD 高等數粤
定理3. , , . lim , lim , , n n n n n n N n N x y x a y b a b = = →+ →+ 则 正整数 当 时 有 设 且 证：如图 x b a 2 a + b 2 a − b 对 正整数 当 时 有 由于 由极限定义知 0, , , 2 lim , lim . , N1 n N1 a bx a yn b n n n − = = = →+ →+ , 2 | | a b x n a − − =