NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,3正整数N使得当n>N时, 都有x ae, n=xfml i际呗 注2.一般说来,N随给定的s变化而变化,给 不同的E确定的N也不同,另外,对同 个E来说,N不是唯一的(若存在一个N 则N+1,N+2,…,均可作为定义中的N) OD 高等數粤
注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给 不同的 确定的N也不同,另外, 对同一 个来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.) 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,正整数N,使得当n>N时, 都有nE,=xmi际呗 0←I 注3.定义中“当nN时,有|xna<E”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有xna|<E,至于 以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个 数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关 而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的 前有限项,不改变数列收敛或发散的性质 OD 高等數粤
注3. 定义中“ 当n>N时, 有| xn−a |<”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xn−a |<,至于 以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个 数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的 前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 几何意义:由于xnaE分a=E<xna+E分 xn∈(a-E,a+s)=U(a,a.因此,所谓: 以a为极限,就是对任何以a为心,以 任意小的正数E为半径的邻域,总 能找到一个N,从第N+1项开始,以 后各项都落在邻域U(a,E)内而只 有有限项落在U(a,)外部看图 N+5 N ·x 12a-8 a+e OD 高等數粤
几何意义: x2 x1 a- xN+5 a xN+1 a+ x3 ( ) x xN 由于| xn−a |< a− <xn< a+ xn(a −, a +)=U(a, ).因此, 所谓xn 以a为极限, 就是对任何以a为心, 以 任意小的正数 为半径的 邻域,总 能找到一个N, 从第N+1项开始, 以 后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只 有有限项落在U(a, )外部.看图
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若E>0,彐正整数N,使得当n>N时, 都有naE,=xmi际呗 0← 例1.若xn=c(常数),则l imc三C 证:VE>0.由于xn1|=|c-c=0 取N=1,当n>N时,有xnc|=0<E 故imc=c n→0 即常数的极限就是常数本身 OD 高等數粤
例1. 若xn =c (常数), 则 c c n = → lim 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记 证: >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0 取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0< c c n = → 故 lim 即常数的极限就是常数本身
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.设q是满足gk1的常数,证明imq"=0 n→)+O 证.若q=0,结论显然成立 设0<qK<1.现在 =q",a=0. E>0.(要证N当n>N时,有lq-0<) *=a=lgn-0=ln =lqlnm 要使|xna{<E,只须q|n<Ec即可 OD 高等數粤
例2. 设q是满足 |q |<1的常数, 证明 lim = 0. →+ n n q 证. 若 q = 0 , 结论显然成立. > 0. 设 0 < |q |<1. 现在, xn = qn , a = 0. (要证N, 当n>N时, 有 |q n −0| < ) 因 | xn − a | = |q n −0| = |q n | = |q | n , 要使| xn − a | < , 只须 |q | n < 即可