·推论二 如果向量组B:1,β2.s 与向量组A:01,02,.0m 等价，充分必要条件是 R(B)=R(A)=R(A,B)
• 推论二 ） R(A,B) ， 向量组 如果向量组 R(B) = R(A = A :α ,α , α B : β ,β β 1 2 m 1 2 S 等价 充分必要条件是 与
第二节.向量组的线性相关性 定义4：给定向量组A:1,2,.,0m, 如果存在不全为零实数1，k2,.,km, 使 k1C1+k2c&2+.+kmam=0 称向量组A线性相关否则称向量组A线性无关 几何意义：（少）两向量线性相关：两向量共线。 (2)三向量线性相关：三向量共面！ 例1：用定义判断线性相关性。 ()向量0,0，B,Y线性相关。 (2)向量a,a,B,Y线性相_关
第二节. 向量组的线性相关性 A , A . 0 , , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 称向量组 线性相关 否则称向量组 线性无关 使 如果存在不全为零实数 给定向量组 + + + m m = m m k k k k k k A 几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 定义4： 例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 o, , , 线性_关。 (2) 向量 , , , 线性_关。 相 相
4.判断线性相关性的定理 定理2：向量组a1,a2,cm(m≥2)线性相关 ←少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示 (1) 推论：向量组c1,a2,.,am(m之2)线性无关 ←任个向量都不能由其余-1个向量线性表示 定理3：n维向量组C1,C2,.,Cm线性相关 (2) ←D=0有非零解其中A=(a1,a2,am) 推论：n维向量组01，a2,.,0m线性无关 ←=0只有零解其中A=(a1,a2,.,am)
4. 判断线性相关性的定理 至少有一个向量可由其余m-1 个向量线性表示 定理2：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性相关 推论：向量组 1 , 2 , , m (m 2) 线性无关 任一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表示 (1) (2) 定理3: n维向量组 1 , 2 , , m 线性相关 Ax = 0有非零解. ( ) A m , , , 其中 = 1 2 推论： n维向量组 1 , 2 , , m 线性无关 Ax = 0只有零解. ( ) 1 2 , , , 其中A = m
例2： 已知：a1=(1,11),a2=(0,2,5),a3=(2,4,7)} 试讨论向量组a1,c2,&3及向量组a1,Q2 的线性相关性. 解：设数k1,k2,k3使得k1+k2a2+k3C3=0成立。 未知量为k1,k2,k3 102 齐次线性方程组有 系数行列式 124=0非零解，所以向量 01,C2,03线性相关。 157 向量c1,Q2对应分量不成比例，所以线性无关
例2: ( ) ( ) ( ) T T T 已知:1 = 1,1,1 , 2 = 0,2,5 , 3 = 2,4,7 试讨论向量组 及向量组 的线性相关性. 1 2 3 , , 1 2 , 解：设数 1 2 3 k k k , , 使得 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 成立。 即 1 2 3 1 0 2 0 1 2 4 0 1 5 7 0 k k k + + = 未知量为 1 2 3 k k k , , 系数行列式 1 0 2 1 2 4 0 1 5 7 = 齐次线性方程组有 非零解，所以向量 1 2 3 , , 线性相关。 向量 1 2 , 对应分量不成比例，所以线性无关
例3： n维向量 e1=(1,0,.,0),e2=(0,1.,0,en=(0,0.,0 讨论它们的线性相关性 解：E=(e1,e2,.,en) 结论：线性无关 问题：n=3时，e1,e2,e3 分别是什么？ 上述向量组又称 基本向量组或单位坐标向量组
例3: n维向量 ( ) ( ) ( ) T n T T e1 = 1,0, ,0 ,e2 = 0,1, ,0 , ,e = 0,0, ,1 讨论它们的线性相关性. ( ) n E e ,e , ,e = 1 2 结论: 线性无关 解: 上述向量组又称 基本向量组或单位坐标向量组. 问题: n=3时, 1 2 3 e ,e ,e 分别是什么？