《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第十章 双线性函数

第十章双线性函数 §1线性函数 教学目标掌握线性函数的概念与性质， 教学重点：线性函数的概念与性质。 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设V是数域P上的线性空间，∫是V到P的映射，若∫满足 1)fa+B)=fa)+f(B)2)f(ka)=(a) 其中a,B是V中任意元素，k是P中任意数，则称∫为V上的线性函数 性质：设∫是V上线性函数则 1f0)=0.f-a)=-f(a) 2p=2a.则fUB)=立kfa) 例1设a,a,aneP(,x,x)eP则函数 f(x)=f(.,x)=ax+ax++ax (1) 就是P上的一个线性函数是零函.a==an=0时.f(x)=0是零函数.仍用0表示 实际上，P”上任一线性函数∫都可表成(1)的形式.令6，5，为P的标准正交基 (G=0.,0,i0,.,0i=l,2mx=(x,x)ePm,因为X=立x,令fe)=a,则 W0=馆6)-26-2以 例2设A=(a)eP"则A的迹

第十章双线性函数 §1 线性函数 教学目标: 掌握线性函数的概念与性质。 教学重点: 线性函数的概念与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 V 是数域 P 上的线性空间， f 是 V 到 P 的映射，若 f 满足 1） f f f f k kf ( ) ( ) ( ); 2) ( ) ( )       + = + = 其中  , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的线性函数. 性质：设 f 是 V 上线性函数.则 1. (0) 0. ( ) ( ) f f f = − = −   1 1 2. , ( ) ( ). s s i i i i i i     k f k f = = = =   则 例1 设 1 2 1 2 , , , . ( , , , ) . n n n a a a P x x x P   则函数 1 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n n f x f x x a x a x a x = = + + + （1） 就是 P 上的一个线性函数是零函. 1 0 n a a = = = 时. f x( ) 0 = 是零函数.仍用 0 表示. 实际上， n P 上任一线性函数 f 都可表成（1）的形式. 令 1 , , n   为 n P 的标准正交基 ( (0, ,0,1,0, ,0) 1,2, , ). i i  = =i n 1 ( , , ) n n  =  x x x P ，因为 1 n i i i X x  = =  ，令 ( )i i f a  = ，则 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n i i i i i i i i i f X f x f x a x   = = = = = =    例2 设 ( ) . n n A a P ij  =  则 A 的迹

T,(40=a1+a2+.+am 就是P"上的线性函数， 例3设V=Px.1是P中取定的数，则 Lt(p(x))=p(t).Vp(x)EP[x] 是PLx)上的线性函数. 设V是P上n维线性空间，6n为V的一组取定的基.对V上任意线性函数∫，及 aeV,a=立x6都有 f(a)=f()=x() (2) 可见f(a)的值由f6),.,f(sn)唯一确定，反之，任给a,.,a。∈P.令 f(∑x6,)=∑a,x 则f为V上线性函数且f(e)=a,i=l,2,n由此即得 定理1设V是数域P上的n维线性空间.6，.，6n是V的一组基a,a2,.,a,是P中任意n个 数，则存在唯一的V上线性函数∫使 f(e)=a,i=l,2,.,n $2.对偶空间 教学目标掌握对偶空间、对偶基的概念与性质，两组基的对偶基之间的关系 教学重点：对偶空间、对偶基的概念与性质。 教学方法：讲授法

11 22 ( ) T A a a a r nn = + + + 就是 n n P  上的线性函数. 例3 设 V P x t = [ ]. 是 P 中取定的数，则 Lt p x p t p x P x ( ( )) ( ), ( ) [ ] =   是 P x[ ] 上的线性函数. 设 V 是 P 上 n 维线性空间， 1 , , n   为 V 的一组取定的基. 对 V 上任意线性函数 f ，及 1 , n i i i    V x =   =  ，都有 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i f f x x f    = = = =   （2） 可见 f a( ) 的值由 1 ( ), , ( ) n f f   唯一确定，反之，任给 1 , , . n a a P  令 1 1 ( ) n n i i i i i i f x a x  = =  = 则 f 为 V 上线性函数.且 ( ) , 1,2, , . i i f a i n  = = 由此即得 定理 1 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间. 1 , , n   是 V 的一组基 1 2 , , , n a a a ，是 P 中任意 n 个 数，则存在唯一的 V 上线性函数 f .使 ( ) , 1,2, , . i i f a i n  = = 作业: P416，习题 2。 预习: 下一节的基本概念. §2.对偶空间 教学目标: 掌握对偶空间、对偶基的概念与性质，两组基的对偶基之间的关系。 教学重点: 对偶空间、对偶基的概念与性质。 教学方法: 讲授法

教学过程 设V是数域P上n维线性空间.用L(W,P)表示V上全体线性函数组成的集合.对 f,gL(W,P),keP.定义f+g,f,如下： (f+g)(a)=f(a)+f(a).(hf)(a)=k(S(a)).VaEV. 则容易验证，∫+g,付∈L(W,P)称∫+g为∫与g的和，付为k与∫的数量乘积不难证明 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件1)一8)故L(心，P)构成P上的线性空间。 取定V的一组基6，.，6n令. c-6 i,j=1,2.,n (1) 则feL,P)且唯一对Va=∑xG,显然有 (a)=x, 引理对a∈V,有 a=∑fa)8 对eW,P),有 f=∑fe,f 证明 (2)→(3)成立1)与3)→(4)成立 由引理立得 定理2dim(L(W,P》=n,而且，.，fn是L(W,P)的一组基 定义2LW,P)称为V的对偶空间，由(1)决定的基称为6，6n的对偶基 今后用V表示V的对偶空间. 例V=Rxl对n个不同的a,a2,an∈R由拉格朗日插值公式，得到n多项式

教学过程: 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间 . 用 L V P ( , ) 表 示 V 上全体线性函数组成的集合 . 对     f g L V P k P , ( , ), . 定义 f g kf + , ，如下： ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ( )), . f g f f kf k f V + = + =         则容易验证， f g kf L V P +  , ( , ) 称 f g + 为 f 与 g 的和， kf 为 k 与 f 的数量乘积.不难证明. 如上定义的加法和数量乘法满足线性空间定义中条件 1）—8）.故 L V P ( , ) 构成 P 上的线性空间. 取定 V 的一组基 1 , , n   令. 1, , ( ) , 1,2, , . 0 . i j i j f i j n i j   = = =    （1） 则 ( , ) i f L V P  且唯一.对 1 n i i i   x =  =  ，显然有 ( ) i i f x  = 引理 对   V ，有 1 ( ) n i i i    f = =  （3） 对  f L V P ( , ) ，有 1 ( ) n i i i f f f  = =  （4） 证明 （2）  （3）成立.1）与 3）  （4）成立 由引理立得 定理 2 dim( ( , )) , L V P n = 而且 1 2 , , , n f f f 是 L V P ( , ) 的一组基. 定义 2 L V P ( , ) 称为 V 的对偶空间，由（1）决定的基.称为 1 , , n   的对偶基. 今后用 V  表示 V 的对偶空间. 例 [ ] V R x = n 对 n 个不同的 1 2 , , , . n a a a R  由拉格朗日插值公式，得到 n 多项式

B==a-a-a=a1=l2.n (a-a）.(a-a-a,-a）.(a-an) 它n是Re)-卡仁周g以R是数无关台因秀人宫交a闭-0特 k=1 C=0,i=1,2,.n又因为dimV=m,所以p,(x),.,p(x)是V的一组基令L∈Vi=l,2,.,m) 满足 L,(px》=pa,px)∈'，i=l2,.,n. 则有 5-pa-6 因此L,L2,.,Ln是2(x),P,(x.,P(x)的对偶基 设6，.，5。与乃，.，是V的两组基，它们的对偶基分别为f,与g,gn再设 (,.,nn)=(8,en)A(g.,gn）=(f.fn)B. 其中A=(a,)m,B=(亿，)m由假设 7,=a5+a5+.+an5n,i=l2,.,n 8,=6f+65+.+bwf,i=l,2,n 因此 a-含a5*5加A+8a-6/ 由矩阵乘法定义，即得BA=E,也就是B=厂或B=(厂y,故有 定理3设6，.，6n及几，.，几n是V的两组基它们的对偶基分别为人，.，厂。与g,.,8a,若由 6,.,6n到。.，的过渡矩阵为A,则由厂，.厂到g,.,gn的过渡矩阵为('了 设是V的对偶空间，取定x=V,定义x“如下： x“f)=f(x).feV' 易知x“∈(W)=

1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1,2, , ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x a x a x a x a P x i n a a a a a a a a − + − + − − − − = = − − − − 它们满足 1, , ( ) 0 . i j i j p i j   = =    .因而 1 ( ), , ( ) n p x p x 是线性无关的.因为将 i a 代入 1 ( ) 0 n k k k c p x =  = 即得 0, 1,2, . i c i n = = 又因为 dim , V n = 所以 1 ( ), , ( ) n p x p x 是 V 的一组基.令 ( 1,2, , ) L V i n i   = 满足 ( ( )) ( ), ( ) , 1,2, , . L p x p a p x V i n i i =  = 则有 1, , ( ( ) ( ) 0 . i j j i i j L p x p a i j  = = =    因此 1 2 , , , L L L n 是 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x 的对偶基. 设 1 , , n   与 1 , ,  n 是 V 的两组基，它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g .再设 1 1 ( , , ) ( , , ) ,     n n = A 1 1 ( , , ) ( , , ) . n n g g f f B = 其中 ( ) , ( ) . A a B b = = ij nn ij nn 由假设 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1,2, , . , 1,2, , i i i ni n j j j nj n a a a i n g b f b f b f i n     = + + + = = + + + = 因此 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1, , ( ) ( ) 0 . n j i kj k i i ni n j i j i nj ni k i j g b f a a a b a b a b a i j     =  = = + + + = + + + =     由矩阵乘法定义，即得 B A E  = ，也就是 1 1 B A − − = 或 1 B A( ) , − =  故有 定理 3 设 1 , , n   及 1 , ,  n 是 V 的两组基.它们的对偶基分别为 1 , , n f f 与 1 , , n g g ，若由 1 , , n   到 1 , ,  n 的过渡矩阵为 A ，则由 1 , , n f f 到 1 , , n g g 的过渡矩阵为 1 ( ) A −  . 设 V  是 V 的对偶空间，取定 x V= , 定义 x  如下： x f f x f V ( ) ( ). .   =   易知 x V V ( ) .      =

定理4设V“是V的对偶空间，则V到V“的映射：x→x“是一个同构映射 证明对x,x2e'fe有 (3+x)")=f(x+x2)=f(x)+f(32)=x"()+x)=(x”+x”() ()"f)=f)=f(x)=a"(f)=("f) 故有(3+x)”=x”+”,()”=”,因而这个映射保持加法和数量乘法若(x)=(),即 ”=”,则∈V有f(x)=f(x),由(3)式得x=x因此o为单射.又因为V与V"的维数相 同，所以σ为同构映射 作业：P417,习题6。 预习：下一节的基本概念 $3双线性函数 教学目标掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念 教学重点：双线性函数、度量矩阵的概念与性质， 教学方法：讲授法 教学过程 定义3设f(a,B)是数域P上线性空间V上的二元函数若它满足 1)f(akB+kB)=kfa,月)+kf(a,B方 2)f(ka+ka.B)=kf(a.B)+kf(az.B) 其中a,a,a2,B,B,是V中任意向量，k,k是P中任意数，则称∫为V上的一个双线性函数 例1欧氏空间V的内积f(a,B)=(a,B)是一个双线性函数. 例2设(a,f5(a)均为V上线性函数，则 fa,)=f(a)5(B)a,B∈V

定理 4 设 V  是 V  的对偶空间，则 V 到 V  的映射  : x x →  是一个同构映射. 证明 对 1 2 x x V f V , ,     有 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x x f x f x x f x f x x f      + = + = + = + = + 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) kx f f kx kf x kx f kx f    = = = = 故有 1 2 1 2 1 1 ( ) ,( ) , x x x x kx kx      + = + = 因而这个映射保持加法和数量乘法.若 1 2   ( ) ( ) x x = ，即 1 2 x x ,   = 则 f V   有 1 2 f x f x ( ) ( ), = 由（3）式得 1 2 x x = .因此  为单射.又因为 V 与 V  的维数相 同，所以  为同构映射. 作业: P417，习题 6。 预习: 下一节的基本概念. §3 双线性函数 教学目标: 掌握双线性函数、度量矩阵的概念与性质，非退化双线性函数的概念。 教学重点: 双线性函数、度量矩阵的概念与性质。 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 3 设 f ( , )   是数域 P 上线性空间 V 上的二元函数.若它满足： 1） 1 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( ) ( , ) ( , );        + = + 2） 1 1 2 2 1 1 2 2 f k k k f k f ( , ) ( , ) ( , ),        + = + 其中 1 2 1 2       , , , , ,  是 V 中任意向量， 1 2 k k, 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个双线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积 f ( , ) ( , )     = 是一个双线性函数. 例2 设 1 2 f f ( ), ( )   均为 V 上线性函数，则 1 2 f f f V ( , ) ( ) ( ) ,       = 