来表示,称为用的n次幂,简记为”.作为定义,令 A°=E 根据线性变换幂的定义,可以推出指数法则 m+n=理m理”,(m)”=用m"(m,n≥0) 当线性变换可逆时,定义A的负整数幂为 ”=(q-)"(n是正整数) 值得注意的是,线性变换乘积的指数法则不成立,即一般说来 设 f(x)=amx"+am1x+…+a 是P[x]中一多项式,是V的一个线性变换,定义 f()= +aE 显然∫(是一线性变换,它称为线性变换理的多项式 不难验证,如果在Px]中 h(x)=f(x)+g(x),(x)=f(x)g(x) 那么 h()=∫(用)+g(用,p()=f()g(用) 特别地 f()g(a)=g(用)f( 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的 例1在三维几何空间中,对于某一向量a的内射影∏是一个线性变换 ∏l可以用下面的公式来表示:
n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0= E. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A m+n =A m A n ,(A m ) n =A m n (m, n 0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A −n =(A −1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) n A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m = m + + + − − 是 P[x] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f (A)= m a A m + am−1 A m−1 +…+ 0 a E 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P[x] 中 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x)g(x), 那么 h (A)= f ( A)+ g ( A), p (A)= f ( A) g ( A). 特别地， f (A) g ( A)= g ( A) f ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 例 1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影 是一个线性变换. 可以用下面的公式来表示：
∏l(5) (a, a 其中(a,5,(a,a)表示向量的内积 从图2不难看出,z在以a为法向量的平面x上的内射影∏1(5)可以用公式 ∏1()=5-∏2() 表示.因此 ∏1=E-∏ 这里￡是恒等变换 z对于平面x的反射巩,也是一个线性变换,它的像由公式 巩,(2)=2-2∏。() 给出.因此 巩,=-2∏l 设a,B是空间的两个向量显然,a与B互相垂直的充要条件为 ∏a∏ 例2在线性空间Pn中,求微商是一个线性变换,用D表示.显然有 其次,变换的平移 ∫(4)→f(2+a)a∈P 也是一个线性变换,用y。表示,根据泰勒展开式 f(4+a)=f(4)+f(4)+f"(A)+…+,fm-)() 因之9。实质上是的多项式 9。=E+ao+o2+…+
( , ) ( , ) ( ) = . 其中 (, ),(,) 表示向量的内积. 从图 2 不难看出， 在以 为法向量的平面 x 上的内射影 ( ) x 可以用公式 ( ) ( ) x = − 表示.因此 x = ℰ- . 这里 ℰ 是恒等变换. 对于平面 x 的反射 ℛ x 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ ( ) 2 ( ) x = − 给出.因此 ℛ x =ℰ-2 . 设 , 是空间的两个向量.显然， 与 互相垂直的充要条件为 = ℴ 例 2 在线性空间 P n [] 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示.显然有 D = n ℴ. 其次，变换的平移 f () → f ( + a) a P 也是一个线性变换，用 ℐ a 表示.根据泰勒展开式 ( ) ( 1)! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 − − − + = + + + + n n f n a f a f a f af , 因之 ℐ a 实质上是℄的多项式： ℐ a =ℰ+ a D+ 2! 2 a D 2 +…+ ( 1)! 1 − − n a n D n−1
§3线性变换和矩阵 、线性变换关于基的矩阵 设是数域P上n维线性空间E1E2…,EnV的一组基,现在建立线性变换与 矩阵关系 空间V中任意一个向量5可以被基E1E2,…En线性表出,即有关系式 5=xE1+x2E2+…+xnEn (1) 其中系数是唯一确定的,它们就是ξ在这组基下的坐标,由于线性变换保持线性 关系不变,因而在的像A与基的像A51,1E2,…,用En之间也必然有相同的关 系 用5=(x1E1+x2E2+…+xnEn) =x1联(E)+x2联(E2)+…+xn(En) 上式表明,如果知道了基E,E2…,En的像,那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了,或者说 1.设E1,E2,…,En是线性空间V的一组基,如果线性变换A与君在这组基上 的作用相同,即 E1=BE1,i=1,2,…,n, 那么A=9. 结论1的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是 2.设E1,2…,En是线性空间V的一组基,对于任意一组向量a1,a2…an 定有一个线性变换A使 A8=a =1,2,…,n 定理1设s1,E2…,En是线性空间V的一组基,a1,a2,…,an是V中任意n个 向量存在唯一的线性变换A使
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n , , , 1 2 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量 可以被基 n , , , 1 2 线性表出，即有关系式 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性 关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 ,A 2 ,…，A n 之间也必然有相同的关 系： A =A（ n n x + x ++ x 1 1 2 2 ） = 1 x A( 1 )+ 2 x A( 2 )+…+ n x A ( n ) (2) 上式表明，如果知道了基 n , , , 1 2 的像，那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，或者说 1. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这组基上 的作用相同，即 A i =B i ， i = 1, 2 , ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量 n , , , 1 2 一 定有一个线性变换 Å 使 A i = i i = 1, 2 , ,n . 定理 1 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基， n , , , 1 2 是 V 中任意 n 个 向量.存在唯一的线性变换 Å 使
E 定义2设61,E2,…,En是数域P上n维线性空间V的一组基,是V中的一个 线性变换基向量的像可以被基线性表出 A8=a121+a282+.+a,E A82=01221+a22E2+.+an2E E+a2n&2 用矩阵表示就是 用( ,En)=(联(E1),A(E2),…,(En)) (E1,E2,…En)A 其中 矩阵A称为线性变换A在基E1E2…En下的矩阵 例1设E1E2…En是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基,把它 扩充为V的一组基E1,E2,…,En指定线性变换A如下 ∫As=6,l=1,2,…m 4s;=0,1=m+1,…n 如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影.不难证明 星=用 投影A在基1:52…,En下的矩阵是
A i = i i = 1, 2 , ,n . 定义 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n A a a a A a a a A a a a 用矩阵表示就是 A（ n , , , 1 2 ）=（A( 1 )，AÅ( 2 )，…， A( n )） = ( 1 , 2 , , n )A (5) 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵. 例 1 设 m , , , 1 2 是 n (n m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基，把它 扩充为 V 的一组基 n , , , 1 2 .指定线性变换 A 如下 = = + = = 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i 如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明 A 2 =A 投影 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是
0 这样,在取定一组基之后,就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到 数域P上的n×n矩阵的一个映射前面结论1说明这个映射是单射,结论2说明 这个映射是满射换句话说,在这二者之间建立了一个双射这个对应的重要性表 现在它保持运算,即有 定理2设s1,E2…,E是数域P上n维线性空间V的一组基,在这组基下,每 个线性变换按公式(5)对应一个n×n矩阵,这个对应具有以下性质: 1)线性变换的和对应于矩阵的和 2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积; 4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵. 定理2说明数域P上n维线性空间的全体线性变换组成的集合L()对于 线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间,与数域P上n级方阵构成的 线性空间Pm同构 定理3设线性变换A在基E1E2,…,En下的矩阵是A,向量在基E,2…,En 下的坐标是(x1x2…xn),则A在基61:E2…,En下的坐标(1,y2,…yn)可以按 公式 计算. 、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系
0 0 1 1 1 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换到 数域 P 上的 nn 矩阵的一个映射.前面结论 1 说明这个映射是单射，结论 2 说明 这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表 现在它保持运算，即有 定理 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，在这组基下，每 个线性变换按公式（5）对应一个 nn 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 定理 2 说明数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换组成的集合 L(V) 对于 线性变换的加法与数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域 P 上 n 级方阵构成的 线性空间 n n P 同构. 定理 3 设线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是 A ，向量 在基 n , , , 1 2 下的坐标是 ( , , , ) 1 2 n x x x ,则 A 在基 n , , , 1 2 下的坐标 ( , , , ) 1 2 n y y y 可以按 公式 = n n x x x A y y y 2 1 2 1 计算. 二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系