第八章-矩阵 81-矩阵 设P是数域，是一个文字，作多项式环P]，一个矩阵如果它的元素是入 的多项式，即P[入]的元素，就称为入一矩阵.在这一章讨论-矩阵的一些性质， 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域P中的数也是P[]的元素，所以在一矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与一矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用A(),B(),…等表示-矩阵. 我们知道，P]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法，因此可以同样定义一矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个 nxn的入-矩阵的行列式.一般地，入-矩阵的行列式是入的一个多项式，它与数 字矩阵的行列式有相同的性质. 定义1如果-矩阵A()中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1级子 式（如果有的话）全为零，则称A()的秩为r.零矩阵的秩规定为零. 定义2一个nxn的入-矩阵A(2)称为可逆的，如果有一个nxn的-矩阵 B()使 A()B(入)=B(入)A(入)=E, (1) 这里E是级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(2)(它是唯一的)称为A(入)的逆矩阵， 记为A().… 定理1一个nxn的一矩阵A()是可逆的充要条件为行列式|A()|是一个 非零的数
第八章 −矩阵 §1 −矩阵 设 P 是数域， 是一个文字，作多项式环 P[] ，一个矩阵如果它的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，就称为 −矩阵.在这一章讨论 −矩阵的一些性质， 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在 −矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与 −矩阵相区别，把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用 A(), B(), 等表示 −矩阵. 我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法，因此可以同样定义 −矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个 nn 的 −矩阵的行列式.一般地， −矩阵的行列式是 的一个多项式，它与数 字矩阵的行列式有相同的性质. 定义 1 如果 −矩阵 A() 中有一个 r(r 1) 级子式不为零，而所有 r +1 级子 式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r .零矩阵的秩规定为零. 定义 2 一个 nn 的 −矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的 −矩阵 B() 使 A()B() = B()A() = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆矩阵， 记为 ( ) 1 − A .. 定理 1 一个 nn 的 −矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是一个 非零的数
§24-矩阵在初等变换下的标准形 λ-矩阵也可以有初等变换 定义3下面的三种变换叫做λ一矩阵的初等变换: (1)矩阵的两行(列)互换位置 (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c (3)矩阵有某一行(列)加另一行(列)的q()倍,q()是一个多项式 和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵例如,将单位矩阵的第j行 的a(4)倍加到第i行上得 列 P(ii()) 仍用P(,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵,用 P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵同样地,对一个sxn 的λ-矩阵A()作一次初等变换就相当于在A(4)的左边乘上相应sxs的初等矩 阵;对A(4)作一次初等列变换就相当于A(4)在的右边乘上相应的n×n的初等矩 阵 初等矩阵都是可逆的,并且有 PG,j)-=P(i,j),P(i(c)-=Pi(c-),P(G,j()1=P(,j(-) 由此得出初等变换具有可逆性:设λ-矩阵A(4)用初等变换变成B(A),这 相当于对A(λ)左乘或右乘一个初等矩阵再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(4)就 变回A(λ),而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由B(4)可用初等变换变回A(λ) 定义4元-矩阵A(A)称为与B()等价,如果可以经过一系列初等变换将
§2 −矩阵在初等变换下的标准形 −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做 −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第 j 行 的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( )) 仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的 −矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘上相应 ss 的初等矩 阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相应的 nn 的初等矩 阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有 ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = = = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设 −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ，这 相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就 变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变回 A() . 定义 4 −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换将
A(4)化为B(A) 等价是λ-矩阵之间的一种关系,这个关系显然具有下列三个性质 ()反身性:每一个-矩阵与它自身等价 (2)对称性:若A(4)与B(4)等价,则B(A)与A(4)等价 (3)传递性:若A(A)与B(4)等价,B(4)与C()等价,则A(4)与C(4)等价 应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵A(4)与B(4)等价的充要条件为有 系列初等矩阵B,P,…,P,Q1,Q2…Q,使 A()=P…BB()gg2…Q 这一节主要是证明任意一个4-矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵 引理设λ-矩阵A(4)的左上角元素a1(4)≠0,并且A(4)中至少有一个元 素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与A(4)等价的矩阵B(4),它的左上角 元素也不为零,但是次数比a1(4)的次数低 定理2任意一个非零的sxn的λ-矩阵A(4)都等价于下列形式的矩阵 d1() d1(2) 0 其中r≥1,d(4)i=1,2,…,p)是首项系数为1的多项式,且 d()|dl()(i=1,2 这个矩阵称为A(4)的标准形 例用初等变换化A-矩阵
A() 化为 B() . 等价是 −矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个 −矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为有一 系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () . (2) 这一节主要是证明任意一个 −矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设 −矩阵 A() 的左上角元素 a11() 0 ，并且 A() 中至少有一个元 素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的左上角 元素也不为零，但是次数比 ( ) a11 的次数低. 定理 2 任意一个非零的 sn 的 −矩阵 A() 都等价于下列形式的矩阵 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d , 其中 r 1,d ( )(i 1, 2, ,r) i = 是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化 −矩阵
1-22-1 A()=元 1+223+A-1-2 为标准形
+ + − − − − − = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( ) A 为标准形
§3不变因子 现在来证明,-矩阵的标准形是唯一的 定义5设λ-矩阵A(A)的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r,A(4)中必有非 零的k级子式.A(4)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D(4)称为 A(A)的k级行列式因子 由定义可知,对于秩为r的λ-矩阵,行列式因子一共有r个行列式因子的 意义就在于,它在初等变换下是不变的 定理3等价的λ-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 现在来计算标准形矩阵的行列式因子设标准形为 d,() d2() (1 0 其中d(),d2(4)…,d()是首项系数为1的多项式,且 d(4)ldl-(λ)(=1,2,…,r-1)不难证明,在这种形式的矩阵中,如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k级子式一定为零因此,为了 计算k级行列式因子,只要看由i,2…行与l,2…列组成的k级子式就行 了,而这个k级子式等于 d2(4),d,(),…,d() 显然,这种k级子式的最大公因式就是 (4)d2(4)…d4() 定理44-矩阵的标准形是唯一的 证明设(1)是A(4)的标准形由于A(4)与(1)等价,它们有相同的秩与相同的 行列式因子,因此,A(4)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A(4)
§3 不 变 因 子 现在来证明， −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设 −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k r, ， A() 中必有非 零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因子的 意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的 −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 是 首 项 系 数 为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零.因此，为了 计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2 行与 k i ,i , ,i 1 2 列组成的 k 级子式就行 了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 k di di di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1 d2 dk 定理 4 −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的 行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 r ; A()