第十章双线性函数与辛空间 §1线性函数 定义1设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,如果f满 足 1)f(a+B)=f(a)+f(B); 2)f(ka)=kf(a), 式中a,B是V中任意元素,k是P中任意数,则称f为V上的一个线性函数 从定义可推出线性函数的以下简单性质: 设∫是V上的线性函数,则f(O)=0,f(-a)=-f(a) 2.如果B是a1a2…a,的线性组合: B=k,a,+k,a 那么 f(B)=k1f(a1)+k2f(a2)+…+k,f(a,) 例1设a1,a2…,an是P中任意数,X=(x xn)是P中的向量函数 f(X)=f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn 就是P上的一个线性函数当a1=a2=…=an=0时,得f(X)=0,称为零函数, 仍用0表示零函数 实际上,Pn上的任意一个线性函数都可以表成这种形式 第i个 P中任一向量X=(x1,x2…,x)可表成 X 设∫是P”上一个线性函数,则
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如果 f 满 足 1） f ( + ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果 是 s , , , 1 2 的线性组合： s s = k11 + k2 2 ++ k 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f = k f + k f ++ k f 例 1 设 a a an , , , 1 2 是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x x 是 n P 中的向量.函数 n n n f X = f x x x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函数， 仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 i = (0 , ,0,1, 0, ,0), i =1, 2 , , n . 第 i 个 n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x x 可表成 n n X = x + x ++ x 1 1 2 2 . 设 f 是 n P 上一个线性函数，则
f(X)=f(∑xE,)=∑xf() f(E1),i= 则 f(x)=a,x,+a2x2+.+a,x 就是上述形式 例2A是数域P上一个n级矩阵,设 A 21 则A的迹 7r(A) 是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pm上的一个线性函数 例3设=P[x],t是P中一个取定的数定义Px]上的函数L,为 L (P(x))=p(0), P(xEPx] 即L(p(x)为p(x)在t点的值,L1(p(x)是Px上的线性函数 如果V是数域P上一个n维线性空间取定V的一组基1E2…,En对V上任 意线性函数∫及V中任意向量a: x,atx 都有 f(E;) 因此,f(a)由∫(1),f(2)…,f(En)的值唯一确定.反之,任给P中n个数 a12a2…,an,用下式定义V上一个函数f
= = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) ( ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i = i = ，，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P 上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t = , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n , , , 1 2 .对 V 上任 意线性函数 f 及 V 中任意向量 ： n n = x + x ++ x 1 1 2 2 都有 = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () ( ) ( ) . (2) 因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f f f 的值唯一确定.反之， 任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2 ，用下式定义 V 上一个函数 f ：
这是一个线性函数,并且 f(s;)=a1,=1,2,…n 因此有 定理1设V是P上一个n维线性空间,E1E2…En是V的一组基 a1a2…an是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数∫使 f(E1)=a1,i=1,2,…n
= = = n i i i n i i i f x a x 1 1 ( ) . 这是一个线性函数，并且 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n 因此有 定 理 1 设 V 是 P 上一个 n 维线性空间， n , , , 1 2 是 V 的一组基， a a an , , , 1 2 是 P 中任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n
§2对偶空间 设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作 L(,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法 设∫,g是V的两个线性函数定义函数∫+g如下 (f+g)a=f(a)+g(a),a∈ f+g也是线性函数: ∫+g)a+β)=∫(a+β)+g(a+B) =f(a)+f(B)+g(a)+g(B) (∫+g)a)+(∫+gβ), C+gka)=f(ka)+g(ka)=kf(a)+kg(a)=k(f+ga) f+g称为∫与g的和 还可以定义数量乘法设∫是V上线性函数,对于P中任意数k,定义函数kf 如下 (ka)=k(f(a),a∈, kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数 容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,L(V,P)成为数域P上的线性 空间 取定V的一组基E1,E2,…En,作V上n个线性函数f1,2…,fn,使得 J≠l, 因为∫在基E1,E2…,En上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的对V中 向量a=>x51,有 f(a)=x1, 即f(a)是a的第i个坐标的值
§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(), V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) , V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的线性 空间. 取定 V 的一组基 n , , , 1 2 ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2 ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j = = = (1) 因为 i f 在基 n , , , 1 2 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中 向量 = = n i i i x 1 ，有 i i f () = x , (2) 即 () i f 是 的第 i 个坐标的值
引理对V中任意向量a,有 f,(a)ei 而对L(V,P)中任意向量f,有 f=∑f(E,) 定理2L(,P)的维数等于V的维数,而且f1,2…,n是L(,P)的一组基 定义2L(P,)称为的对偶空间.由(1)决定L(V,P)的的基,称为 E1,E2,…En的对偶基 以后简单地把V的对偶空间记作V 例考虑实数域R上的n维线性空间=P[x]n,对任意取定的n个不同实数 an,根据拉格朗日插值公式,得到n个多项式 p,(r) (x-a1)…(x-a-1)x-a1)…(x-an) ,i=1,2,…,n. (a1-a1)…(a1-aaa1-a11)…(a1-an) 它们满足 P(a)=1J=1; j≠1,,/=1,2 l0 P(x),P2(x),…,Pn(x)是线性无关的,因为由 C1P,(x)+c2 P2(x)+.+c,P,(x)=0 用a代入,即得 ckP(a)=cP,(a) 又因V是n维的,所以P2(x),P2(x),…,pn(x)是V的一组基 设L∈V'(=1,2,…n)是在点a的取值函数 L(P(x)=p(a1),p(x)∈Hi=1,2,…,n
引理 对 V 中任意向量 ，有 = = n i i i f 1 () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2 是 L(V,P) 的一组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n , , , 1 2 的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作 V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同实数 a a an , , , 1 2 ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j = = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1 = = = = = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是 V 的一组基. 设 L V (i 1, 2, ,n) i = 是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i =