第六节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1 imf(x)=A,{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 X→> X→0 →>x0(n→>∞)2有lmnf(xn)=A x.→> n→ 为确定起见,仅讨论x→>x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.lmf(x)=A,V{xn}:xn≠x23f(xn) x→ 有定义,且xn2→x0(n→>∞),有limf(xn)=A 证:>设lmf(x)=A,即∨E>0,3δ>0,当 x→)x 0<x-x0<0时,有f(x)-A<E V{xn}x≠x,f(xn)有定义,且xn→x0(n→>∞) 对上述8,彐N,当n>N时有0<xn-x0<6 于是当n>N时f(xn)-A<E 故 lim f(xn)=A n→>0 可用反证法证明(略 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A,{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 且xn→x0(n→∞),有limf(xn)=A (xn→>∞) n→0 说明:此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠x,且xn→x0(n→∞) 使limf(xn)不存在 n→0 法2找两个趋于x0的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn n→ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明 lim sin不存在 x->0 X 证:取两个趋于0的数列 n2n兀 及 1 2n兀+ 有1 lim sin= lim sin2nx=0 n→)0 Im sin n→>00 n1m lim sin (2nT+2)=1 由定理1知 lim sin-不存在 x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束