第一章 第五节 极限运算法则 无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证:考虑两个无穷小的和设lima=0,limB=0 VE>0,361>0,￥0<x-x0<1时,有a<2 彐62>0,当0<x-x<62时,有<2 取δ=mn{81,62},则当0<x-x0<8时有 a+B|sa+B<2+2=6 因此 lim(a+)=0 x-xo 这说明当x→>x0时,a+B为无穷小量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证有限个无穷小之和仍为无穷小 说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小! 例如, lim/1 ∴ n→>(n2+丌n2+2丌 n+n丌 (P56,题4(2)) 解答见课件第二节例5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设xeU(xo,61),l≤M 又设lma=0,即VE>0,32>0,当x∈U(xo,62) x→)x 时有a≤ 取δ=mn{61,62,则当x∈Ux,δ)时,就有 |=uo≤M 故 lim ua=0,即a是x→>x时的无穷小 x>to 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求im x->0x sinx 解::sinx|≤1 xX Im 0 x->0X 利用定理2可知limx=0 x→)00 X 说明:y=0是y 的渐近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束