Chapter 2 25 Hermite插值 插值方法 Newton与 Lagrange插值的不足: y=f()其 Newton与 Lagrange插值多项式Pn(x)与Nn(x) 满足插值条件:Pn(×)=N(×)=f(×)i=01,2,n Newton与 Lagrange插值多项式与y=f(X)在插值节点上有相同 的函数值—“过点” 但在插值节点上y=f(x)与y=P(x)一般不”相切” f(×)≠Pn(×)光滑性较差 Hermite插值:求与y=f(×)在插值节点X,X1…x上具有相同函数 值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式 应HUST
2.5 Hermite插值 Newton与Lagrange插值的不足: y=f(x),其Newton与Lagrange插值多项式Pn(x) 与Nn(x) 满足插值条件:Pn(xi)=Nn(xi)=f(xi) i=0,1,2,…n Newton与Lagrange插值多项式与y= f(x)在插值节点上有相同 的函数值----“过点”. 但在插值节点上 y=f(x) 与 y=Pn(x) 一般不 ” 相 切 ” , f’(xi) Pn’(xi).——光滑性较差 Hermite插值:求与y=f(x)在插值节点x0,x1,…,xn上具有相同函数 值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式
Chapter 2 Hermite插值 插值方法 Problem26:已知函数y=f(×)在插值节点a≤x<x1<<Xn<b上 的函数值f(×)与导数值f(X)i=0,1,2,…n求多项式H(x) 使:H()=f(x),H(X)=f(x)i=0,1,2,n 对于以上问题可用两种方法求H() 方法一:待定系数法 由2n+2个插值条件,可唯一确定一个次数不超过2n+1次的 多项式 (1)H(X)是2n+1次多项式; (2)令H(X)=a+a1X+…+a2n+x2叶+1 (3)由2n+1个插值条件建立关于ao,a1,,a+的线性方程组解 之得H(x) 方法二:基函数法 应HUST
Hermite插值 Problem2.6:已知函数y=f(x)在插值节点a x0<x1<…<xn b上 的函数值f(xi)与导数值f’(xi),i=0,1,2,…n.求多项式H(x) 使 H(xi)=f(xi), H’(xi)=f’(xi) i=0,1,2,…n. 对于以上问题,可用两种方法求H(x). 方法一:待定系数法. 由2n+2个插值条件 可唯一确定一个次数不超过2n+1次的 多项式. 1 H(x)是2n+1次多项式; 2 令H(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+1; 3 由2n+1个插值条件建立关于a0,a1,Öa2n+1的线性方程组.解 之得H(x). 方法二:基函数法
Chapter 2 Hermite插值 插值方法 Problem:已知f(x),f(X),i=01,…n.求H2n+1(×) H2n+(X)=f(×),H2n+12(X)=f(x),i=01,2…n 基函数法: (1)2n+2个已知量f(x)f(X),i=0,1,2,…n (2)构造2+2个基函数a(x)β(×),i=0,12,n (3)使H2n+1()为2n+2个基函数的线性组合: 2n+1-00(X)()+a (X)f(×1)+…+an(x)f(xn +β0(Xf(x)+B1(×)f(x1)+…+Bn(X)f(x) 如何求这些基函数呢? 应HUST
Hermite插值 Problem: 已知f(xi) f’(xi) i=0,1,…n.求H2n+1(x) H2n+1(xi)=f(xi), H2n+1’(xi)=f’(xi), i=0,1,2,…n. 基函数法 1 2n+2个已知量f(xi), f’(xi) i=0,1,2,…n. 2 构造2n+2个 基函数 i(x), i(x) i=0,1,2,…n. 3 使H2n+1(x)为2n+2个基函数的线性组合 H2n+1= 0(x)f(x0)+ 1(x)f(x1)+…+ n(x)f(xn) + 0(x)f’(x0)+ 1(x)f’(x1)+…+ n(x)f’(xn). 如何求这些基函数呢?
Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 如果:0x(x)=J0i≠j β(x,)=0 0i≠j 1(x)=0 B(x)=8 H2n+1(x1)=f(x0)00(x)+…+f(x,)x,(x)+…+f(xn)xn(x) f(x)B6(x)+…+f(x,)B(x)+…+f(xn)B(x H2n+1(x1)=f(x00(x,)+…+f(x,),(x,)+…+f(xn)Cn(x,) f(x)B6(x)+…+f(x)B(x)+…+f(x)Bn(x) x 应HUST
Hermite插值基函数 ≠ β =δ = = 'i j ij i j (x ) i j 01 ≠ α =δ = = i j ij i j (x ) i j 01 21 0 0 ''' 0 0 () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () () n j j nnj j j nn j j j j j j j H x fx x fx x f x x f x f x x f x f x x α α x β β α β + = +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ = + + () 0 i j 如果 β x = ' 21 0 0 '' '' 0 0 ' ' ' ' () () () () ( ) ( ) ( () ( ( ) () () () ) ( ) ) j n j j nnj j j j j j j n n j j H x fx x fx x f x f x fx x x xx x f x f α α β β α β + = +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ = + + ' ' α = ' i j (x ) 0
Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 0i≠ a(x)=9 1i=( x一x x)=I (X1)=0 (x;-x a,(x)① degree62n+1,②有根 i-1i+1 x且都是2重根 →(x)=(41x+b)(x)因(x)=1(x)=0 「a,x1+b,=1 1 a22(x1)+(a1x1+b1)×2|(X)川(x1)=0 a,X+b,=1 1+2X)=0 1 0(X)=[1-2(X-X1)∑ X k=0X;一X k 应HUST
Hermite插值基函数 i j ij ' i j i j (x ) i j ( ) (x ) ≠ α =δ = = Ι α = 0 1 0 ( ) i α x degree=2n+1, 有根 x 0 , …, xi-1 , xi+1 , …, x n且都是 2重根 1 1 2 () ( ) ( ) i i ⇒ =+ α x x a b l x 因 ' ( ) 1, ( ) 0 i i i i α α x x = = ∏≠ − − = j i i j j i x x x x l x ( ) ( ) ( ) + = ⇒ + +× = i ' i i i i ii i ax b a l (x ) (a x b ) l (x )l (x ) 1 1 2 1 11 1 2 0 + = ⇒ + = i ' i i ax b a l (x ) 1 1 1 1 2 0 = ≠ =− − − α ∑ n i k i k i k i i (x) [ (x x ) ]l (x) 0 x x 1 2 1 2