第二章行列式 §1引言 解方程是代数中的一个基本的问题,特别是在中学所学代数中,解方程占有 重要地位这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容 对于二元线性方程组 ∫a1x1+a2x2=b 当a1a2-a2a21≠0时,此方程组有唯一解,即 b b 2 a,b-anb a142-412a21 a1422-a12a21 我们称a1a2-a2a2为二级行列式,用符号表示为 于是上述解可以用二级行列式叙述为: 当二级行列式 时,该方程组有唯一解,即 b 2a 21 对于三元线性方程组有相仿的结论设有三元线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b =b2 a31x+a32*2+a33x,=b3 称代数式a1a2a3+a12a23a1+a3a2a2-a1a23a2-a12a2a3-a13a2a1为三级行 列式,用符号表示为:
第二章 行列式 §1 引言 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有 重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 + = + = , , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二级行列式，用符号表示为 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a = . 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 21 22 11 12 21 2 11 1 2 21 22 11 12 2 22 1 12 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = = . 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三级行 列式，用符号表示为：
a1a2a3+al12a23a3+a13a21al2-a1a23432-a12a21a33-a13a2231=a21a22a23 当三级行列式 d 时,上述三元线性方程组有唯一解,解为 d d d d 其中 b b2a2, d,= b2 31 b, a b 在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组 aux b arx,+a22x2+.+a2,xn=b2 b 的情形为此,首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质,这是本章的主要内容
3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = . 当三级行列式 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a d 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 , , , 3 3 2 2 1 1 d d x d d x d d x = = = 其中 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 , , a a b a a b a a b d a b a a b a a b a d b a a b a a b a a d = = = . 在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 的情形.为此，首先给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容
§2排列 排列的定义 定义1由1,2……,n组成的一个有序数组称为一个n级排列 显然12…n也是一个n级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序 排起来的;其它的排列或多或少地破坏自然顺序 定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的 数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个 排列的逆序数 排列j/2…j的逆序数记为 r(1j2…jn) 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列 应该指出,我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列,一般 也称为n级排列对这样一般的n级排列,同样可以定义上面这些概念 排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列 这样一个变换称为一个对换显然,如果连续施行再次相同的对换,那么排列就 还原了由此得知,一个对换把全部n级排列两两配对,使每两个配成对的n级排 列在这个对换下互变 定理1对换改变排列的奇偶性 这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列 推论在全部n级排列排列中,奇、偶排列的个数相等,各有川2个 定理2任意一个n级排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变,并且所 作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
§2 排列 一、排列的定义 定义 1 由 1,2, ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序 排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的 数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个 排列的逆序数. 排列 n j j j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n j j j 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般 也称为 n 级排列.对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列. 这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就 还原了.由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配对，使每两个配成对的 n 级排 列在这个对换下互变. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部 n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/ 2 个. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变，并且所 作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
§3n级行列式 n级行列式的概念 在给出n级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义我们有 (1) a a2a2a2=a1a2a3+a12a23a31+a3a2a2-a1a23a32-a1a2a3-a1ya2a1(2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成另一方面,每一项乘积都带有符号这符号是按什 么原则决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成 J2 其中j/2/3是1,2,3的一个排列可以看出,当j2/3是偶排列时对应的项在(2) 中带有正号,当元2/3是奇排列时带有负号 定义4n级行列式 (4 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5) 的代数和,这里j/2…jn是1,2,…,n的一个排列,每一项(5)都按下面规则带有符 号;当j2…j是偶排列时,(5)带有正号,当j2…jn是奇排列时,(5)带有负 号这一定义可写成 a
§3 n 级行列式 一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − , (1) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什 么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项在(2) 中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4) 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号；当 n j j j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，(5)带有负 号.这一定义可写成 = − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) , (6)
这里∑表示对所有n级排列求和 定义表明,为了计算n级行列式,首先作所有可能由位于不同行不同列元素 构成的乘积把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序,然后由列指标所成 的排列的奇偶性来决定这一项的符号 由定义看出,n级行列式是由n!项组成的 例1计算行列式 002 4000 例2计算上三角形行列式 2 0 00 这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积特 别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式对角形行列式的值等 于主对角线上元素的乘积 容易看出,当行列式的元素全是数域中的数时,它的值也是数域中的一个数 二、行列式的性质 在行列式的定义中,为了决定每一项的下正负号,把个元素按行指标排起来 事实上,数的乘法是交换的,因而这个元素的次序是可以任意写的,一般地,n 级行列式中的项可以写成 (11) 其中i2…n,j/2…n是两个n级排列利用排列的性质,不难证明,(11)的符号等 于 )+r(1j2…n)
这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和. 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素 构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成 的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出， n 级行列式是由 n! 项组成的. 例 1 计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 . 例 2 计算上三角形行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 . (7) nn nn n n a a a a a a a a a 11 22 22 2 11 12 1 0 0 0 = . (8) 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特 别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等 于主对角线上元素的乘积. 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地， n 级行列式中的项可以写成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 , （11） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等 于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j − . (12)