第一章多项式 §1数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的 定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1如果P中任意两个 数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是中的数,那么P就称为一个数域 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域这三个数域分别用字母Q、R、C来代表全体整数组成的集合就不是数 域 如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中,就说数集P 对这个运算是封闭的因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数 集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P就称为一个 数域 例1所有具有形式 b2 的数(其中a,b是任何有理数),构成一个数域通常用Q(√2)来表示这个数域 例2所有可以表成形式 +a bo+b, 的数组成一数域,其中n,m为任意非负整数,a1,b,(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)是 整数 例3所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭 的 性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
第一章 多项式 §1 数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个 数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域.这三个数域分别用字母 Q、R、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数 域. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数集 P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在内的数 集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称为一个 数域. 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a,b 是任何有理数），构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这个数域. 例 2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j = = 是 整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭 的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
§2一元多项式 一元多项式 定义2设n是一非负整数,形式表达式 +……+a1x+ 其中ao2a2…,an全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为 数域P上的一元多项式 在多项式(1)中,ax称为i次项,a称为次项的系数以后用f(x),g(x) 或∫,g,…等来表示多项式 注意:这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式 定义3如果在多项式∫(x)与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数 全相等,那么∫(x)与g(x)就称为相等,记为f(x)=8(x) 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0 在(1)中,如果an≠0,那么ax称为多项式(1)的首项,a称为首项 系数,n称为多项式(1)的次数零多项式是唯一不定义次数的多项式多项式f(x) 的次数记为a(f(x) 二、多项式的运算 设 f(r)=a,x"+a-x"+.+a,x+a 是数域P上两个多项式,那么可以写成 f(x)=∑a (x)=∑b 在表示多项式f(x)与g(x)的和时,如n≥m,为了方便起见,在g(x)中令 b=bn=…=bn=0,那么f(x)与g(x)的和为
§2 一元多项式 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − , (1) 其中 a a an , , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为 数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数.以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) . 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在（1）中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首项 系数， n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x)). 二、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) = = m j j j g x b x 0 ( ) 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ，为了方便起见，在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为
∫(x)+g(x)=(an+b)x"+(an1+bn1)xn+…+(a1+b)x+(a+b) 而f(x)与g(x)的乘积为 f(x)g(x)=a,bmx+(a, bm-i+anbn)x++(a,bo+aob)x+aobo 其中s次项的系数是 a,b+a-b1+…+a1b+ab,=∑ub 所以f(x)g(x)可表成 f(x)g(x)=∑(∑ab,)x 显然,数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域 P上的多项式 对于多项式的加减法,不难看出 a(f(x)+g(x)smax(a(f(x)),a(g(x))) 对于多项式的乘法,可以证明,若f(x)≠0,g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0,并 a(f(x)g(x))=a(f(x))+a(g(x)) 由以上证明看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形 多项式的运算满足以下的一些规律: 1.加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2.加法结合律:(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) 3.乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x) 4.乘法结合律:(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x) 5.乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) 6.乘法消去律:若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0,则g(x)=h(x)
= − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = . 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) + g(x)) max( ( f (x)), (g(x))). 对于多项式的乘法，可以证明，若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0 ，并 且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形. 多项式的运算满足以下的一些规律： 1. 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) . 2. 加法结合律： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) 3. 乘法交换律：. f (x)g(x) = g(x) f (x) 4. 乘法结合律： ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 5. 乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) 6. 乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x)
定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多 项式环,记为P[x],P称为P[x]的系数域
定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多 项式环，记为 P[x]， P 称为 P[x] 的系数域
§3整除的概念 在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算一除法 并不是普遍可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系 整除的概念 带余除法对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有 Px]中的多项式q(x)r(x)存在,使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立,其中(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f(x)的 余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式 h(x)使等式 f(x)=g(xh(x) 成立用“g(x)∫(x)”表示g(x)整除∫(x),用“g(x)|f(x)”表示g(x)不能整除 当g(x)|f(x)时,g(x)就称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时,带余除法给出了整除性的一个判别条件 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0 g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零 带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)|f(x)中,g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)·h(x)=0·h(x)=0 当g(x)|f(x)时,如g(x)≠0,g(x)除f(x)的商q(x)有时也用 g(x)
§3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法 —并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ，一定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的 余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x) 0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零 . 但 g(x) | f (x) 中 ， g(x) 可以为零 . 这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x