《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 线性空间

第六章线性空间 s1集合·映射 、集合 集合是数学中最基本的概念之一,所谓集合就是指作为整体看的一堆东西 组成集合的东西称为这个集合的元素用 ∈M 表示a是集合M的元素,读为:a属于M用 aEM 表示a不是集合M的元素,读为:a不属于M 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的因此给出一个集 合的方式不外两种,一种是列举法:列举出它全部的元素,一种是描述法:给出 这个集合的元素所具有的特征性质 设M是具有某些性质的全部元素所成的集合,就可写成 M={|a具有的性质} 不包含任何元素的集合称为空集,记作p 如果两个集合M与N含有完全相同的元素,即a∈M当且仅当a∈N,那么 它们就称为相等,记为M=N 如果集合M的元素全是集合N的元素,即由a∈M可以推出a∈N,那么M 就称为N的子集合,记为McN或N→M 两个集合M和N如果同时满足McN和NcM,则M和N相等 设M和N是两个集合,既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M 与N的交,记为M∩N 属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并,记为 MUN 、映射 设M和M是两个集合,所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法 则,它使M中每一个元素a都有M中一个确定的元素a'与之对应如果映射σ使 元素a'∈M与元素a∈M对应,那么就记为

第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 组成集合的东西称为这个集合的元素.用 aM 表示 a 是集合 M 的元素，读为： a 属于 M .用 aM 表示 a 不是集合 M 的元素，读为： a 不属于 M . 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集 合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出 这个集合的元素所具有的特征性质. 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M = a | a具有的性质. 不包含任何元素的集合称为空集，记作  . 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素，即 aM 当且仅当 a N ，那么 它们就称为相等，记为 M = N . 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 aM 可以推出 a N ，那么 M 就称为 N 的子集合，记为 M  N 或 N  M . 两个集合 M 和 N 如果同时满足 M  N 和 N  M .，则 M 和 N 相等. 设 M 和 N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的交，记为 M  N . 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并，记为 M  N . 二、映射 设 M 和 M  是两个集合，所谓集合 M 到集合 M  的一个映射就是指一个法 则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M  中一个确定的元素 a  与之对应.如果映射  使 元素 a M 与元素 aM 对应，那么就记为

(a)=a', d'就为a在映射σ下的像,而a称为a'在映射σ下的一个原像 M到M自身的映射,有时也称为M到自身的变换 关于M到M的映射σ应注意: 1)M与M'可以相同,也可以不同 2)对于M中每个元素a,需要有M中一个唯一确定的元素a'与它对应 3)一般,M中元素不一定都是M中元素的像 4)M中不相同元素的像可能相同 5)两个集合之间可以建立多个映射 集合M到集合M的两个映射σ及x,若对M的每个元素a都有a(a)=r(a 则称它们相等,记作σ=r 例1M是全体整数的集合,M是全体偶数的集合,定义 (n)=2n,n∈M 这是M到M的一个映射 例2M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 1(A)=A|,A∈M 这是M到P的一个映射 例3M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 2(a)=aE,a∈P E是n级单位矩阵,这是P到M的一个映射 例4对于f(x)∈P[x],定义 ((x))=f(x) 这是P[x到自身的一个映射 例5设M,M是两个非空的集合,a0是M中一个固定的元素,定义 (a)=ao,a∈M 这是M到M的一个映射

 (a) = a  , a  就为 a 在映射  下的像，而 a 称为 a  在映射  下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M  的映射  应注意： 1） M 与 M  可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M  中一个唯一确定的元素 a  与它对应； 3）一般， M  中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 集合 M 到集合 M  的两个映射  及  ，若对 M 的每个元素 a 都有  (a) =  (a) 则称它们相等，记作  = .. 例 1 M 是全体整数的集合， M  是全体偶数的集合，定义  (n) = 2n, n  M , 这是 M 到 M  的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1 (A) =| A|, AM . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义  2 (a) = aE ,aP. E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f (x)  P[x],定义  ( f (x)) = f (x) 这是 P[x] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ， M  是两个非空的集合， 0 a 是 M  中一个固定的元素，定义  (a) = a0 ,a  M . 这是 M 到 M  的一个映射

例6设M是一个集合,定义 a(a)=a,a∈M 即σ把M的每个元素都映到它自身,称为集合M的恒等映射或单位映射,记为 例7任意一个定义在全体实数上的函数 f(r) 都是实数集合到自身的映射,因此函数可以认为是映射的一个特殊情形 对于映射可以定义乘法,设O及分别是集合M到M',M'到M"的映射, 乘积v定义为 (o)(a)=t(G(a) M 即相继施行σ和τ的结果,ro是M到M"的一个映射 对于集合集合M到M的任何一个映射σ显然都有 Lg=gl=g 映射的乘法适合结合律设a,x,分别是集合M到M',M到M",M"到 Mm的映射,映射乘法的结合律就是 (r)o=y(to 设a是集合M到M的一个映射,用 代表M在映射σ下像的全体,称为M在映射σ下的像集合显然 O(MCM 如果a(M)=M,映射σ称为映上的或满射 如果在映射σ下,M中不同元素的像也一定不同,即由a1≠a2一定有 σ(a1)≠G(a2),那么映射a就称为1-1的或单射 一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射 对于M到M的双射a可以自然地定义它的逆映射,记为σ-1因为σ为满

例 6 设 M 是一个集合，定义  (a) = a ,a  M . 即  把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射或单位映射，记为 M1 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 对于映射可以定义乘法,设  及  分别是集合 M 到 M  ，M  到 M  的映射， 乘积  定义为 ( )(a) =  ( (a)) ,a  M , 即相继施行  和  的结果，  是 M 到 M  的一个映射. 对于集合集合 M 到 M  的任何一个映射  显然都有 1M =1M = . 映射的乘法适合结合律.设  , , 分别是集合 M 到 M  ，M  到 M ，M  到 M  的映射，映射乘法的结合律就是 () = ( ). 设  是集合 M 到 M  的一个映射，用  (M ) 代表 M 在映射  下像的全体，称为 M 在映射  下的像集合.显然  (M )  M  . 如果  (M ) = M  ，映射  称为映上的或满射. 如果在映射  下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 a1  a2 一定有 ( ) ( )  a1  a2 ,那么映射  就称为 1−1 的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称 1−1 对应或双射. 对于 M 到 M  的双射  可以自然地定义它的逆映射，记为 −1  .因为  为满

射,所以M中每个元素都有原像,又因为σ是单射,所以每个元素只有一个原 像,定义 a)=a,当a(a)=a 显然,a是M到M的一个双射,并且 不难证明,如果σ,r分别是M到M′,M'到M”的双射,那么乘积ro就是M 到M”的一个双射

射，所以 M  中每个元素都有原像，又因为  是单射，所以每个元素只有一个原 像，定义 a  = a a = a  − ( ) , ( ) 1  当 . 显然， −1  是 M  到 M 的一个双射，并且 M M − − =1 , =1 1 1    . 不难证明，如果  , 分别是 M 到 M ，M  到 M  的双射，那么乘积  就是 M 到 M  的一个双射

§2线性空间的定义与简单性质 线性空间的定义 例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算 2解析几何中规定的实数与向量的乘法是RXV3到V的一个运算. 3°由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 定义1令V是一个非空集合,P是一个数域在集合的元素之间定义了一 种代数运算,叫做加法;这就是说给出了一个法则,,对于V中任意两个向量a与 B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应,称为a与B的和,记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对 于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在V中都有唯一的一个元素δ与它 们对应,称为k与α的数量乘积,记为δ=ka.如果加法与数量乘法满足下述规 则,那么V称为数域P上的线性空间 加法满足下面四条规则 1)a+b=B + 2)(a+B)+y=a+(B+y); 3)在V中有一个元素0,Va∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0 称为V的零元素); 4)Va∈,3B∈Vsa+B=0(B称为a的负元素) 数量乘法满足下面两条规则 6)k(la)=(kD)a 数量乘法与加法满足下面两条规则

§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对应,称为  与  的和,记为  =  +  . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对 于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它 们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为  = k .如果加法与数量乘法满足下述规 则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则：: 1)  +  =  + ； 2) ( +  ) +  =  + ( +  ) ； 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有  + 0 = （具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）； 4)  V, V,st  +  = 0 (  称为  的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则：