第一章 第七 无穷小的比较 引例.x→>0时,3x,x2,sinx都是无穷小,但 sinx 1 m =0 lim x->03x x→>03x3 sIn x x->0x 可见无穷小趋于0的速度是多样的 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较
定义.设a,B是自变量同一变化过程中的无穷小, 若lim=0,则称B是比a高阶的无穷小,记作 C B=o(a) 若limb=∞,则称B是比a低阶的无穷小 C 若inb=C≠0,则称B是a的同阶无穷小 若1mB=C≠0,则称B是关于c的k阶无穷小 若1nB=1,则称/是a的等价无穷小记作Q~B 或β~a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,当x→>0时 o( 6x); sinx wx, tanx Nx arcsinxNx 又如 1-cOS x sinx lim lim- 0 x04(x22 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小,且 1-coS x N 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1证明当x→>0时,1+x-1~x 证:lim 1+x 0 a-bn=(a-b)(a"-+a-2b++6"-) lim (%1+xy-1 x>0 nx[(1+xy1+(1+xy 1] 当x→>0时,/+x-1~1x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.a~BB=a+0(a) 证:a~B lim =1 C ←lim(2-1)=0,即lim B 0 C C B-a=o(),即B=a+0(a) 例如,x→>0时,sinx~x,tanx~x,故 x→>0时,sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
～ ～ 定理1. = + o() 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束