《高等代数》课程教学资源（讲义）第五章 二次型

第五章二次型 §1二次型及其矩阵表示 、二次型及其矩阵表示 设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2…xn)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a2x2+…+2a2nx2xn+…+ ax(1) 称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型 定义1设x1,…xny1,…,y是两组文字,系数在数域P中的一组关系式 x2=C21y1+c22y2+……+C2nVn y1+cny2+…+Cmy 称为由x1…x到η1…yn的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式 n≠0,那么线性替换(2)就称为非退化的 线性替换把二次型变成二次型 令an=a1,<j由于xx=x,x,所以二次型(1)可写成 f(x1,x2…,xn)=a1x2+a12x1x2+…+a1nx1xn t a2rx2x, + a22x 2+.+,x anxx+a2x2+…+amx2 ∑∑anxx (3) 把(3)的系数排成一个n×n矩阵 a 它称为二次型(3)的矩阵因为an=an,i,j=1,2…n,所以 A=A 把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的令

第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 设 P 是一个数域,一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1  的二次齐次多项式 ( , , , ) 2 2 2 (1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n 1 1 1 n n n n n n n f x x  x = a x + a x x ++ a x x + a x ++ a x x ++ a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 定义 1 设 n n x , , x ; y , , y 1  1  是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式        = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , (2) 称为由 n x , , x 1  到 n y , , y 1  的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 cij  0 ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 a a ,i j . ij = ji  由于 , i j j i x x = x x 所以二次型(1)可写成 (3) ( , , , ) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = = = + + + + + + + + + = + + + n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x a x x a x a x x f x x x a x a x x a x x      把(3)的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 21 22 2 11 12 1               = n n nn n n a a a a a a a a a A        (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij = ji =  所以 A = A 把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

x XAX=(x1,x2,…x a1x1+a12x2+……+a1nxn a21x1+a22x2+…+a2nxn =(x1,x2,…,xn anx,tanzi f(x1,x2…,xn)=XAX 应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当i≠j时an=an正是它的x,x,项的 系数的一半而an是x2项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的由此 可得若二次型 f(x, x)=XAX= XBX 且A=A,B=B,则A=B y 于是线性替换(4)可以写成 yI C y2 或者 X=CY 经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型,替换后的二次型与原来的 次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的 关系

( ) ( ) = = =               + + + + + + + + + =                              = n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x x a a a a a a a a a X AX x x x 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , , , ,               或 f (x1 , x2 ,  , xn ) = X AX 应该看到二次型(1)的矩阵 A 的元素,当 i  j 时 aij = a ji 正是它的 i j x x 项的 系数的一半,而 ii a 是 2 i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此 可得,若二次型 f (x1 , x2 ,  , xn ) = XAX = XBX 且 A = A, B = B ,则 A = B . 令               =               = n n nn n n n y y y Y c c c c c c c c c C         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 , , 于是线性替换（4）可以写成                             =               n n nn n n n n y y y c c c c c c c c c x x x          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 或者 X = CY . 经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的 二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的 关系

设 f(u,x2,, xn)=XAX, A=A 是一个二次型,作非退化线性替换 X=CY 得到一个y,y2,…,y的二次型 YBY 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A与B的关系 把(8)代入(7),有 ∫(x1,x2…x)=XAX=(CY)A(CY)= CACY Y(CAC)Y=YBr 易看出,矩阵CAC也是对称的,由此即得 B=CAC 这是前后两个二次型的矩阵的关系 定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的 n×n矩阵C,使得 B=CAC 合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质 1)自反性任意矩阵A都与自身合同 2)对称性如果B与A合同,那么A与B合同 3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同 因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地,当线性替换 X=Cy 是非退化时,由上面的关系即得 Y=C

设 f (x , x , , xn ) = XAX, A = A 1 2  (7) 是一个二次型，作非退化线性替换 X = CY (8) 得到一个 n y , y , , y 1 2  的二次型 Y BY ， 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵 A 与 B 的关系. 把（8）代入（7），有 ( ) . ( , , , ) ( ) ( ) 1 2 Y C AC Y Y BY f x x xn X AX CY A CY Y C ACY =   =   =  =  =   易看出，矩阵 CAC 也是对称的，由此即得 B =CAC . 这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 nn 矩阵 C ,使得 B =CAC . 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A 都与自身合同. 2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. 3) 传递性:如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同,那么 C 与 A 合同. 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换 X = CY 是非退化时，由上面的关系即得 Y C X −1 =

这也是一个线性替换,它把所得的二次型还原这样就使我们从所得二次型的性 质可以推知原来二次型的一些性质

这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性 质可以推知原来二次型的一些性质

§2标准形 、二次型的标准型 次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 dx2+d2x2+…+dnx2 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1) 的形式 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, xi +dx dx d10 o d 0 00 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项按上一节的讨论,经过非退化 的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可 以叙述为 定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使 成对角矩阵 二次型∫(x,x2…x)经过非退化线性替换所变成的平方和称为 f(x,x2,…,x)的标准形 例化二次型 xn)=2x x2+2x, x3-6x2 为标准形 二、配方法 1.a1≠0,这时的变量替换为

§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1） 的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1                             = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x           反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化 的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理 1 可 以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x  n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11  这时的变量替换为