第九节 第一章 连续画数的运算与 初等菡数的连续性 、连续函数的运算法则 初等函数的连续性 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积 商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如,sinx,cosx连续 tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调 递增(递减).(证明略) 例如,y=sinx在[-2,2]上连续单调递增 其反函数y= arcsinx在[-1,1上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如,ν=e在(-∞,十∞)上连续单调递增, 其反函数y=hx在(0,+∞)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证:设函数=(x)在点x0连续,且0(xo)=4 函数y=f(x)在点0连续,即limf(u)=f(o) l→)l 于是 lim f[(x)]=lim f(u)=f(uo)=fLP(ro) 11>l0 故复合函数[(x)在点x0连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,y=sin-是由连续函数链 y=sinu,l∈(-∞,+∞) x∈R 复合而成,因此y=sin在x∈R上连续 y 少=Sn HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)与g(x)均在[a,b上连续,证明函数 P(x)=maxif(x),g(x)) V(x)=minf(x),g(x)) 也在[a,b上连续 证:∵四(x)=∫(x)-g(x)+f(x)+g(x)] v(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-8(x)] 根据连续函数运算法则,可知9(x),v(x)也在[a,b]上 连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束