(a)"一点正,一片正"yJo+β由条件(iv)，不妨设yoJo-βF,(xo, yo) >0.dxo-β Xo xo+β x因为连续，所以根据(a)一点正，一片正保号性，3使得F(x,y) > 0, (x, y) E S,其中 S=[xo-β,xo+β]x[yo-β,yo+β]cD后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 0 其中 S x x y y D. = − + − + [ , ] [ , ] 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) > 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆, 0 0 ( , ) 0. F x y y (a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设 因为 连续，所以根据 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) 保号性， 使得 0 , (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + 0 y 0 y − 0 y + y S 𝑂
(b)"正、负上下分"因故 F;(x,y) >0, (x,y) E S,Vx E [xo - β,xo + β]把看作)的函数，它在上[Vo - β, yo + β]严格增，且连续（据条件(i)）。y +β特别对于函数 F(xo,y),由条yo件 F(xo,o)=0 可知一o-βd*o-β Xo Xo+β xF(xo, yo +β)>0,(b) 正、负上下分F(xo, o -β)<0.前页后页返回
前页 后页 返回 0 0 F x y ( , ) 0, + (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ _ _ _ + _ 0 x y 𝑂 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (b) “正、负上下分 ” 因 故 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) > 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆, ∀𝑥 ∈ [𝑥0 − 𝛽, 𝑥0 + 𝛽], 把 看作𝐹(𝑥, 𝑦) 的函数，它在 𝑦 上 [𝑦0 − 𝛽, 𝑦0 + 𝛽] 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 0 特别对于函数 F x y ( , ), 由条 0 0 件 可知 F x y ( , ) 0 = 0 0 F x y ( , ) 0. −
(c）"同号两边伸连续，故由 F(x,o -β),F(x,yo +β)x(b)的结论，根据保号性，使得α≤β),yF(x,yo+β)>0,+++Yo+βyoF(x,yo-β)<0,yo-βxe(x-α,x,+α).dxa*0g+α x(d）“利用介值性"(c）同号两边伸V E (xo-α,xo +因关于 F连续, 且严格增，故由（c）的结论，依据介值性定理，存在惟前页后页返回
前页 后页 返回 关于 连续，故由 𝐹(𝑥, 𝑦0 − 𝛽), 𝐹(𝑥, 𝑦0 + 𝛽) 𝑥 (b) 的结论，根据保号性， 使得∃𝛼(0 < 𝛼 ≤ 𝛽), 0 F x y ( , ) 0 , − (c) 同号两边伸 ＋＋＋＋ － － － － 𝑥 0 x y 0 y 𝑂 0 x − 0 x + y0− 0 y + (c) “同号两边伸” (d) “利用介值性” ∀𝑥̰ ∈ (𝑥0 − 𝛼, 𝑥0 + 𝛼因), 关于 𝐹(连续𝑥̰,𝑦) , 且严𝑦 格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟 0 F x y ( , ) 0 , + 0 0 x x x − + ( , ).