二、隐函数存在性条件分析要讨论的问题是：当函数满足怎样一些条件时，由方程（1）能确定隐函数，并使该隐函数具有连续、可微等良好性质？）把上述看作曲面与坐标z = F(x,y)平面的交线，故至少要求该交集非空，即3Po(xo,yo），满足F(xo, yo) = 0, yo = f(xo)在点使在连续，故要求F(x,y)连续是合理的.前页后页返回
前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 , 𝑦并使= 𝑓(𝑥) 要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些 𝐹(𝑥, 𝑦) 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 看作曲面𝑦 = 𝑓与坐标 (𝑥) 𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦) 平面 的交线，故至少要求该交集非空，即 𝑧 = 0 ∃𝑃0(𝑥0, 𝑦0) ，满足 𝐹(𝑥0, 𝑦0) = 0, 𝑦0 = 𝑓(𝑥0). 连续是合理的． 𝑃0 为使 在 连续，故要求 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在点𝑥0 𝐹(𝑥, 𝑦)
为使在可导，即曲线在y = f(x)在点 F(x,y)点存在切线，而此切线是曲面的切面与的交线故应要求在F(x,y)点可微，且(Fx(xo, yo), F,(xo, yo)) ± (0,0)(d）在以上条件下，通过复合求导数，由(1)得到dF(x, F(x)|x=x= Fi(xo, Jo)+F,(xo, yo)f(x) =0,dxFr(xo,yo)f'(x)=F,(xo,yo)由此可见，是（介重要条件.前页后页返回
前页 后页 返回 由此可见， 是一个重要条件． 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0) ≠ 0 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d F x f x F x y F x y f x x x x y x = = + = 点 𝑃存在切线，而此切线是曲面 0 在点𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦) 的切平面与 𝑃0 的交线，故应要求 𝑧 = 0 在 𝐹(𝑥, 𝑦) (c) 为使 在 可导，即曲线 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在𝑥0 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑃0 点 可微，且 (𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0)) ≠ (0,0). (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) x y F x y f x . F x y = −
三、隐函数定理定理18.1（隐函数存在惟一性定理）设方程（1)中函数满足以下四个条件：上连续； D c R2(i) 在以为内点的某区域(ii)（初始条件）;(ii）在内存在连续的偏导数Fy(x,y)(iv) F,(xo, yo) + 0.则有如下结论成立：前页后页返回
前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 满足以下四个条件： 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑃0(𝑥0,𝑦0) 𝐷 ⊂ 𝑅 2 (i) 在以 为内点的某区域 上连续； (ii) ( 初始条件 𝐹(𝑥0,𝑦0) = 0 )； (iii) 在 内存在连续的偏导数 𝐷 ； 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) 0 0 ( , ) 0. (iv) F x y y 则有如下结论成立：
存在某邻域，在U内方程（1)U(Po)包确定了一个隐函数y= f(x), xe(xo-α,xo+α),它满足：，当时,使得x E (xo -α,xo +α)(x, f(x)) E U(Po), F(x,f(x)) = 0;2°f(x)在上连续×+α)证首先证明隐函数的存在与惟一性。证明过程归结起来有以下四个步骤（见图18－1）：后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 y f x x x x = − + ( ), ( , ), (𝑥, 𝑓(𝑥)) ∈ 𝑈(𝑃0), 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) ≡ 0; 2 在 上连续． ∘𝑓(𝑥) (𝑥0 − 𝛼, 𝑥0 + 𝛼) 惟一地确定了一个隐函数 它满足： 0 0 f x y ( ) = 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛼, 𝑥0 + 𝛼) , 且当 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图18－1 )： 存在某邻域 ，在 U 内由方程 (P0 ) D 𝑈(𝑃0) 1 (1)
yyyo +βJo +βyoyoyo-βJo-βox0-βxoXo+βxdro-β xo Xo+β x(b)正、负上下分(a)一点正,一片正ytJo+βU(Po)yoyoy=f(x)yo-βJo-βdx-α *oxo+α xdx-α*0 xo+α x(c)同号两边伸(d)利用介值性图 18- 1后页返回前页
前页 后页 返回 (c) 同号两边伸 ＋＋＋＋ － － － － 𝑥 0 x y 0 y 𝑂 0 x − 0 x + y0− 0 y + (d) 利用介值性 ＋＋＋＋ － － － － 𝑥 0 x 𝑦 0 y 𝑂 0 x − 0 x + 0 U P( ) 0 y − 0 y + y f x = ( ) (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ _ _ _ + _ 0 x y 𝑂 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + 0 y 0 y − 0 y + y 𝑂 图 18－1