第4章三非线性规划4.5约束最优化方法9/17/2026
第4章 非线性规划 4.5 约束最优化方法 9/17/2026
3.惩罚函数法思想：将问题中的约束条件转换成适当的带有参数的惩罚函数，然后在原来的目标函数上加上惩罚函数构造出带参数的增广目标函数，把带约束的MP问题的求解转换为一系列无约束的MIP问题的求解。内容：■罚函数法障碍函数法山东大学软件学院9/17/2026
3. 惩罚函数法 思想： ▪ 将问题中的约束条件转换成适当的带有参数的惩罚函数， ▪ 然后在原来的目标函数上加上惩罚函数构造出带参数的增广 目标函数， ▪ 把带约束的MP问题的求解转换为一系列无约束的MP问题的 求解。 内容： ▪ 罚函数法 ▪ 障碍函数法 9/17/2026 山东大学 软件学院 2
3(1).罚函数法3山东大学软件学院9/17/2026
3(1). 罚函数法 9/17/2026 山东大学 软件学院 3
东2学6软件学院罚函数法考虑带一般的（带约束）MP问题：f(x)mins.t.g,(x)≤0, i=1.ph,(x)=0, j=1.q °将其转换为无约束 MP问题（UMP）的一种想法是，构造一个惩罚函数p(x)，满足：(1) 当x EX时，p(x)=0;(2）当x史X时，p(x)=c，其中c是一个很大的正数。然后将其加大目标函数f(x)上，得到增广目标函数F(x)：F(x)= f(x)+ p(x)
罚函数法 ⚫考虑带一般的（带约束）MP 问题： ( ) h x j q g x i p f x j i ( ) 0, 1. s.t. ( ) 0, 1. min = = = 。 ⚫将其转换为无约束 MP 问题（UMP）的一种想法是，构造一 个惩罚函数 p(x)，满足： （1）当 x X 时，p(x) = 0； （2）当 x X 时，p(x) = c，其中 c 是一个很大的正数。 ⚫然后将其加大目标函数 f(x)上，得到增广目标函数 F(x)： F(x) = f (x)+ p(x) 山东大学 49/17/2026软件学院
出东学6软件学院罚函数p(x)由性质(1)，对于可行解x，有 F(x)=,f(x);由性质(2)，对于不可行解x，有 F(x) >>f(x)。因此，在 minimizing 的意义下，F(x)与,f(x)的最优解是相同的。除了上述性质(1)和(2)，罚函数p(x)还需要是连续的和光滑的（可微），以便于应用已有的无约束最优化方法求解转换得到的 UMP 问题。(3)满足性质(3)的关键是罚函数p(x)的值在 MP 问题可行域的边界处不能产生跳跃。为此，可选取如下形式的罚函数：P+[(x)p.(x)=cZ[max(g,(x),0)Pi=1=1
罚函数p(x) ⚫由性质(1)，对于可行解 x，有 F(x) = f(x)； 由性质(2)，对于不可行解 x，有 F(x) >> f(x)。 因此，在 minimizing 的意义下，F(x)与 f(x)的最优解是相同 的。 ⚫除了上述性质(1)和(2)，罚函数 p(x)还需要是连续的和光滑的 （可微），以便于应用已有的无约束最优化方法求解转换得到 的 UMP 问题。 (3) ⚫满足性质(3)的关键是罚函数 p(x)的值在 MP 问题可行域的边 界处不能产生跳跃。为此，可选取如下形式的罚函数： ( ) ( ( ) ) ( ) = = = + q j j p i c i h x c p x c g x 1 2 1 2 2 max ,0 。 山东大学 59/17/2026软件学院