1l.解因1(61)=B1{1(B1)B1,(B)=B2(B2)B2 (a)Im(o1)=span B1(o1(B1)lB,=span 11 19 Kar()=K{B2(2(B2)l}求2(B2)2的核空间 2(B2)B2 基础解系 因此 Ker(o2) ()(1+m)(62)=B2|(1+m)(62)l2=B2(m1(B2)2+(2(B2))因此a1+m2在 基B2下的矩阵为 1(B62)B2+2(B2)B2 设矩阵M是基B1到B2的过渡矩阵,即B1M=B2,解得: 则 o1[B2]b,=M o1 B1]B, M 7811「-10044 4346 因此 1+02)(B2)B2=1(62)B2+{2(B2)B2= 1228536 12.解:选定n维线性空间V的一组基B={1,E2,…,n}后,V上的线性变换a对应nxn阶矩 阵,不同变换对应不同的矩阵,因此L(V)与线性空间F×n(设线性空间V定义在数域F上 同构,线性空间Fn×n维数为n2,它的一组基为:{E}(i,j=1,2,…,m),其中E;的第i行 第j列元素为F上的(乘法)单位元,其它元素为0的n×n矩阵
11. 解: 因 σ1 (B1) = B1 [σ1 (B1)]B1 , σ2 (B2) = B2 [σ2 (B2)]B2 (a) Im (σ1) = span n B1 [σ1 (B1)]B1 o = span (" 11 18 # , " 11 19 #), Ker (σ2) = Ker n B2 [σ2 (B2)]B2 o , 求 [σ2 (B2)]T B2 的核空间: [σ2 (B2)]T B2 x = 0 基础解系: " −3 2 # , 因此 Ker (σ2) = span (" −1 1 #) (b) (σ1 + σ2) (B2) = B2 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = B2 [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 , 因此 σ1 +σ2 在 基 B2 下的矩阵为: [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 设矩阵 M 是基 B1 到 B2 的过渡矩阵, 即 B1M = B2, 解得: M = " −7 8 5 6 # 则 σ1 [B2]B2 = M−1σ1 [B1]B1 M = " −7 8 5 6 #−1 " 3 5 4 3 # " −7 8 5 6 # = 1 82 " −100 44 43 46 # 因此 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 = 1 82 " 228 536 535 784 # 12. 解: 选定 n 维线性空间 V 的一组基 B = {ε1, ε2, . . . , εn} 后, V 上的线性变换 σ 对应 n × n 阶矩 阵, 不同变换对应不同的矩阵, 因此 L(V ) 与线性空间 F n×n (设线性空间 V 定义在数域 F 上) 同构, 线性空间 F n×n 维数为 n 2 , 它的一组基为: {Eij}(i, j = 1, 2, . . . , n), 其中 Eij 的第 i 行 第 j 列元素为 F 上的(乘法)单位元, 其它元素为 0 的 n × n 矩阵
13.解:取线性空间R2×2的一组基: E11 10 E12= 00 00 1 10 E22 01 令B=EnE12E21E2求线性变换a在基B下对应的矩阵: a(E1) 111020 000 2E1+2E 11 2 a(E12)= 101 0 11|00 a(E21) 20=2E11 11 a(E2) 020 1100 01=E1 因此,a对应的矩阵为: 2020 2020 0101 rank(o(B)s)=2,因此dima=2.dim(Kera)=4-2=2. 14.证:Im()={y|wx∈vy=a(x)},Ker(o)={x|x∈VA0(x)=0}对wy∈Im(a),则存在 x∈V使得y=a(x) T()=T(o(x))=o(T()) Im(o 即Im(a)是r的不变子空间 对x∈Ker(a),则 a((x))=7(a(x)=T(0) 因T是V上的线性变换,有T(0)=0,因此 a((x)=0 即r(x)∈Ker(o),说明Ker(a)是r的不变子空间 15.证:因S1和S2是线性变换σ的不变子空间,有Wx∈S1,y∈S2,o(x)∈S,o(y)∈S2,对 Wx∈S1+S2,存在x1∈S1和x2∈S2使得x=x1+x2,则 a(x)=0(x1+x2)=0(x1)+0(x2) 因a(x1)∈S1和a(x2)∈S2,所以a(x)∈S1+S2,S1+S2是o的不变子空间.S1∩S2是a 不变子空间的证明类似
13. 解: 取线性空间 R 2×2 的一组基: E11 = " 1 0 0 0 # , E12 = " 0 1 0 0 # , E21 = " 0 0 1 0 # , E22 = " 0 0 0 1 # 令 B = h E11 E12 E21 E22 i 求线性变换 σ 在基 B 下对应的矩阵: σ (E11) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E12) = " 1 1 1 1 # " 0 1 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 σ (E21) = " 1 1 1 1 # " 0 0 1 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E22) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 因此, σ 对应的矩阵为: [σ (B)]B = 2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 1 rank ([σ (B)]B ) = 2, 因此 dim σ = 2. dim (Kerσ) = 4 − 2 = 2. 14. 证: Im(σ) = y ∀x ∈ V, y = σ (x) , Ker(σ) = x ∀x ∈ V ∧ σ(x) = 0 . 对 ∀y ∈ Im (σ), 则存在 x ∈ V 使得 y = σ(x), τ (y) = τ (σ (x)) = σ (τ (x)) ∈ Im (σ) 即 Im (σ) 是 τ 的不变子空间. 对 ∀x ∈ Ker (σ), 则 σ (τ (x)) = τ (σ (x)) = τ (0) 因 τ 是 V 上的线性变换, 有 τ (0) = 0, 因此 σ (τ (x)) = 0 即 τ (x) ∈ Ker (σ), 说明 Ker (σ) 是 τ 的不变子空间. 15. 证: 因 S1 和 S2 是线性变换 σ 的不变子空间, 有 ∀x ∈ S1, y ∈ S2, σ(x) ∈ S1, σ(y) ∈ S2, 对 ∀x ∈ S1 + S2, 存在 x1 ∈ S1 和 x2 ∈ S2 使得 x = x1 + x2, 则 σ(x) = σ(x1 + x2) = σ(x1) + σ(x2) 因 σ(x1) ∈ S1 和 σ(x2) ∈ S2, 所以 σ(x) ∈ S1 + S2, S1 + S2 是 σ 的不变子空间. S1 ∩ S2 是 σ 不变子空间的证明类似