《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）三重积分（概念、计算）

利用对称性计算三重积分 若积分域V关于xoy面对称, 函数f(x,y2=)关于变量是奇函数, 则|(x,y,2)xdz=0 函数f(x,y,2)关于变量是偶函数, 则f(x,y,=)d 2 f(, y, z ldxdydz 上 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性计算三重积分 ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , ( ) , , ) , 上 若 是奇函数， 则 ； 函数 是偶函 积分域 函 关于 面对称 数 数， ， 关于变量 关于变量 则 。 V V V f x y z dxdydz f x y z f x y z dxdydz V f x y z f x y z dxdyd x z z z oy     

利用轮换对称性计算重积分 若x,y,z依次轮换时, 积分域V的边界曲面的方程不变, 则积分域V具有轮换对称性。 若闭区域V具有轮换对称性,则 f(x,y, =)dxdydz=lf(v,2,xdxdyd= f(=, x, y)dxdydz I IJI(ax, 3.3)+f(y, 5, x)+/(,x, krdyd= 3 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 利用轮换对称性计算重积分 x, y,z V V 积分域 边界曲面 若 依次轮换时， 的 ， 则积分域 具有轮换 的方程不变 对称性。 ( , , ) ( , , ) ( , , ) V V V f x y z dxdydz  f y z x dxdydz  f z x y dxdydz    若闭区域V具有轮换对称性，则  ( , , ) ( , , ) ( , , ) . V f x y z  f y z x  f z x y dxdydz  = 1 3

例2计算「x, 其中是由上半球面z=4-x2-y2与 抛物面3z=x2+y2上侧所围成的立体 解球面与抛物面的交线为 x2+y2+z2=4 下二 2 2 x ty=3z 1 2 即 x ty 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 13 2 , V x dV 计算 3 . 4 2 2 2 2 抛物面 上侧所围成的立体 其中 是由上半球面 与 z x y V z x y      解 球面与抛物面的交线为：         x y z x y z 3 4 2 2 2 2 2       1 3 : 2 2 z x y 即 例2

由对称性: ∫xw=∫ 2小(x2+y2)d 2(x2+y2)dy2+2 D 3 (x2+y2(√4-x2-yp2-x2+y dd小 2 3 2兀 dr2(4 )rdn 2J0 3 49 30 000018 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 14 由对称性：  V x dV 2   V y dV 2    V (x y )dV 2 1 2 2        2 2 2 2 4 3 2 2 ( ) 2 1 x y x y D x y dxdy dz        D dxdy x y x y x y ) 3 ( )( 4 2 1 2 2 2 2 2 2 rdr r d r r ) 3 ( 4 2 1 2 2 3 0 2 2 0        . 30 49   

例3化三重积分I=(x,y,x)dd小udz为三次 积分,其中积分区域V为由曲面z=x2+2y2及 z=2-x2所围成的闭区域 z=x2+2y2 2 y y 1=x2+1 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 15 x y z O zx 22y 2 2 2 z2x 2 1 1 O x y z 2 1x 2y 2